サイクロイド

質問

平面状を運動する点Ｐの時刻tに於ける座標(x,y)が、x=a(ωt-sinωt),y=a(1-cosωt)で与えられている時、tに於けるＰの速度、加速度、各々の大きさを求めよ。
まず、xとyをtについて微分します。
dx/dt=aω-aωcosωt dy/dt=asinωt …速度 v=(aω-aωcosωt,asinωt)
d^2x/dt^2=aω^2sinωt d^2y/dt^2=aω^2cosωt …加速度 a=(aω^2sinωt,aω^2cosωt)
よって、
|v|=√{(aω-aωcosωt)^2+(asinωt)^2}=
|a|=√{(aω^2sinωt)^2+(a^2cosωt)^2}=
以上の式が上手く解けません。
sin^2θ+cos^2θ=1　を使うのかと思うのですが……
微分の方もあっているかイマイチです。
助言よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

面倒なので、|v|^2と|a|^2で計算します。

|v|^2＝{(aω-aωcosωt)^2+(aωsinωt)^2}
　　＝(aω)^2 { (1-cosωt)^2 + (sinωt)^2 }
　　＝(aω)^2 { 1-2・cosωt+(cosωt)^2+(sinωt)^2 }
　　＝(aω)^2 { 1-2・cosωt+1 }
　　＝2(aω)^2 ( 1-cosωt )
∴|v|＝aω√{ 2(1-cosωt) }

|a|^2＝{(aω^2sinωt)^2+(aω^2cosωt)^2}
　　＝(aω^2)^2 { (sinωt)^2 + (cosωt)^2 }
　　＝(aω^2)^2 ×1
　　＝(aω^2)^2
∴|a|＝aω^2

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

info22

＞x=a(ωt-sinωt),y=a(1-cosωt)
＞dx/dt=aω-aωcosωt
＞dy/dt=asinωt
dy/dt=aωsinωt

＞…速度 v=(aω-aωcosωt,asinωt)
v=(aω-aωcosωt,aωsinωt)

＞d^2x/dt^2=aω^2sinωt
＞d^2y/dt^2=aω^2cosωt
＞…加速度 a=(aω^2sinωt,aω^2cosωt)

＞|v|=√{(aω-aωcosωt)^2+(asinωt)^2}←不注意ミスです
|v|=√{(aω-aωcosωt)^2+(aωsinωt)^2}
=|a|ω√{(1-cosωt)^2+(sinωt)^2}
=|a|ω√{2-2cosωt}
=|a|ω√{4(1-cosωt)/2}
=2|a|ω√{(1-cosωt)/2}
=2|a|ω√{(sin(ωt/2))^2}
=2ω|a*sin(ωt/2)|

＞|a|=√{(aω^2sinωt)^2+(a^2cosωt)^2}←不注意ミスです
|α|=√{(aω^2sinωt)^2+(aω^2cosωt)^2}
=|a|ω^2√{(sinωt)^2+(cosωt)^2}
=|a|ω^2

あなたの場合、計算ができないときは不注意ミスがあると考えて見直すことが大切だと思います。問題はちゃんと計算できるように作られていますから…。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

debut

dy/dtをもう一度見直してください。ωが足りなくない
ですか？

お礼

記入ミスでした。すみません。