曲線上の動点の加速度

質問

点Ｐは単位円周上を(1,0)を出発し、1秒間に１進むとします。

一周するために必要な時間は、２π秒です。

さて、x=cosθ、y=sinθとすると

各点での速度の大きさ＝√{(d^2x/dθ^2)^2+(d^2x/dθ^2)^2}＝１

加速度の大きさ＝√{(d^2x/dθ^2)^2+(d^2x/dθ^2)^2}＝１

ですが、そうするとどんどん点Ｐの動く速さが増えていきませんか？

どの点でも速度の大きさは１でありながら、加速度も１だというのは

どのように理解すればよいのでしょうか？

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

出発 t 秒後の点 P の位置ベクトルを p と置くと、
p = (cos(t), sin(t)) です。

すると、
dp/dt = (-sin(t)), cos(t)),
|dp/dt| = 1,
d^2p/dt^2 = (-cos(t), -sin(t)),
|d^2p/dt^2| = 1.

仰るように、
速度の大きさ |dp/dt| = 1,
加速度の大きさ |d^2p/dt^2| = 1
です。

＞ そうするとどんどん点Ｐの動く速さが増えていきませんか？

|dp/dt| = 1 なので
速度の大きさの変化率 (d/dt)|dp/dt| = 0 ですが、
それと
|d^2p/dt^2| ≠ 0 とは、全く別の話です。

上記で、加速度 |d^2p/dt^2| をどうやって求めたか
を見れば、No.1 さんの回答の意味が解るかと思います。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

もう少し一般的な話も書きますと

dp/dt=v, と d^2p/dt^2=a が直交しているとします。

v・a = dp/dt・d^2p/dt^2 = 0

時間で積分すると

(1/2)(dp/dt)^2 = (1/2)|v|^2 = C (C は積分定数)

なので、加速度と速度が常に直交している場合、円運動に限らず
速度の絶対値は必ず一定になります。

逆に速度の絶対値が一定なら、速度と加速度は必ず直交します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>この場合の加速度ベクトルは、点Ｐから円の中心に向かう矢印と考えてよいでしょうか？

点Pの座標=(x. y) = (cosθ、sinθ)
加速度a=(d^2x/dθ^2, d^2y/dθ^2) = (-cosθ, -sinθ)

加速度が 円の中心に向いていることは明らかです。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

進行方向の加速度成分が0だから速さは増えないのです。
つまり、速度ベクトルと加速度ベクトルが垂直になっています。

速度と加速度の方向を絵に書いて比べてみてください。
また内積を計算すれば直交していることを確認できます。

dx/dθ=-sinθ, dy/dθ=cosθ
d^2x/dθ^2=-cosθ, d^2y/dθ^2=-sinθ

v=(dx/dθ, dy/dθ) = (-sinθ, cosθ)
a=(d^2x/dθ^2, d^2y/dθ^2) = (-cosθ, -sinθ)

v・a = (-sinθ, cosθ)・(-cosθ, -sinθ) =　sinθcosθ - cosθsinθ = 0　直交！

お礼

ありがとうございます。わかりやすいですね。
なるほど！速度、加速度というのはベクトルなので、その大きさを求めていたんですね。加速度ベクトルの進行方向への成分が０より大きければ速度が増え、０より小さければ減速すると考えるわけですか。
この場合の加速度ベクトルは、点Ｐから円の中心に向かう矢印と考えてよいでしょうか？

回答No.1

Tacosan

速度や加速度はベクトル量です.