位相差

質問

y1 = cosωt + ωRCsinωt
y2 = sinωt
これらの位相差はどうやってわかればいいのでしょうか？

y1 = sin(ωt + arccos(ωRC/√{1+(ωRC)^2})
または
y1 = sin(ωt + arcsin(1/√{1+(ωRC)^2})
なので位相差は
arccos(ωRC/√{1+(ωRC)^2} = arcsin(1/√{1+(ωRC)^2}
ですか？

回答No.3

LCR707 · ベストアンサー

＃１です。
　arctan、arcsin、arccosの関係については、Teleskopeさんの丁寧な説明があるので、省略。位相の進み遅れについての説明です。

　今、位相差をθで表現すると、
　y1 = sin(ωt + θ)
　y2 = sin(ωt)
となりますが、0 < θ < π/2 と見なすので、y1のほうがy2よりθだけ位相が進んでいます。
y1とy2のグラフを書き、どちらの波形の山が先に来るかを見れば、分かりやすいと思います。

お礼

どうもありがとうございました。
さすが, LCRが名前なだけありますね。(?)

回答No.2

Teleskope

電気の計算のようなので横入り失礼を；

ωt を A 、ωRC を B と省略します。

　　y1 = sinA + BcosA
　　　　= Csin(A＋θ)　　Ｃは求めない
　　　　= C(sinAcosθ+cosAsinθ)

sinAの係数を比べると
　　　1 = Ccosθ
cosAの係数を比べると
　　　B = Csinθ

下を上で割る

　　　B/1 = sinθ/cosθ = tanθ

以上ですが、
別法として、三角関数の変数がすべて ωt なので、
下図のような フェーザー（phasor）で描けます。
y1 はこの図でベクトル加算になるので、
√(1+(ωRC)^2) がどこの長さかすぐ分かりますね、

y1 = cosωt + ωRCsinωt

　↑
１│
　└────→
　　　ωRC

y1 の式は、この図ではベクトル加算ですよね、
その長さは、直角三角形の斜辺、
　　　L = √(1+(ωRC)^2)
です。

そのＬと横軸との角度は、
　　　θ = tan-1（1/ωRC）
　　　　　= sin-1（1/L）
　　　　　= cos-1（ωRC/L）
のお好きな表現になります。

y1 = sin（ωt + 上記θのどれか）

なお、面倒な場合は
　　arctan → atan
　　arcsin → asin
　　arccos → acos
でも通じます。

補足

なるほど。たいへん良くわかりました。
arc→aで通じるとは知りませんでした。
ここじゃ-1表記だと煩雑になるかと思いまして。

回答No.1

LCR707

A・sin(ωt+θ) = A・sin(ωt)・cos(θ) + A・cos(ωt)・sin(θ)
なので、これを
　y1 = cos(ωt) + ωRCsin(ωt)
と比べると
　A・cos(θ) = ωRC
　A・sin(θ) = 1
になり、
　tan(θ) = 1/ωRC
　A = 1/sin(θ)
より、位相差は
　θ = arctan(1/ωRC)
になります。

　位相差については、ONEONEさんが書かれている式と等価です。

お礼

どうもありがとうございました。

ところで, 「y1はy2よりθ = arctan(1/ωRC)だけ遅れる」
でよろしいでしょうか？

補足

√{1+(ωRC)^2}sin(ωt + ・・・)
でAの部分を忘れてしまいました。

「位相差の部分は等価」というところと「なぜtanで表せるか」が疑問です。
よろしくお願いします。