４元速度・加速度(むずかしすぎです・・・)

質問

x(t)=a sinωt、 y(t)=a cosωt、 z(t)=0 で慣性基準系
(t、x,y,z)における4元速度と加速度を求めるにはどうしたらよいのでしょうか?(粒子の世界線がある慣性基準系)
ただし|aω|<1で、a、ωは定数。
あと、t=t1からt=t2までの間に経過した粒子の固有時間はどうやったら出せるのでしょう??

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

先に3次元速度の大きさを求めておきます。
　v=aω
c=1 とおく相対論的単位を用い、世界線の線素をdsとすると
　　ds = √(dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2)
　　　 = dt√(1 - v^2)
ですから4次元速度は
　　u0 = dt/ds = 1/√(1 - v^2)
　　u1 = dx/ds = (dx/dt)・(dt/ds)
　　　 = v1/√(1 - v^2) = aωcos(ωt)/√(1 - v^2)
　　u2 = -aωsin(ωt)/√(1 - v^2)
　　u3 = 0
となります。固有時間は世界線の長さで，
　　∫ds = ∫[t1→t2]dt√(1 - v^2)
　　　　 = (t2 - t1)√(1 - v^2)
となります

お礼

grothendieckさん、いつもすみません。なんとか解けそうです。テストが近いので根本から理解してがんばってみたいと思います。