積分の問題です。

質問

u = t^2 であることを利用して、　∫　t / (12 + t^4) dt　を求めよ。

という問題があります。

まず、　du = 2t dt　として、
dt = du / 2t 　というところまで　出しました。

そこまでは、部分点をもらっていたので、あっているはずです。

ここから先をどう進めたらよいのかが　わかりません。

解き方を、教えてください。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞du=2tdt、dt=1/(2t)du
∫t/(12+t^4)dt=∫t/(12+u^2)1/(2t)du=(1/2)∫1/(12+u^2)du
=(1/24)∫1/{1+(u/√12)^2}du
u/√12=xで置換、du=√12dx
(1/24)∫1/{1+(u/√12)^2}du=(1/24)∫{1/(1+x^2)}√12dx
=(√3/12)∫1/(1+x^2)dx=(√3/12)arctan(x)・・・答

お礼

式に沿って計算することが、かんたんにできました。
助かりました。ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.5

Hutson

∫t/(12+t^4)dt = ∫t/(12+u^2) du/2t = 1/2∫1/(12+u^2)du
= 1/4√3 tan^-1(u/2√3) = 1/4√3 tan^-1(√t/2√3)

お礼

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.4

info222_

I=∫ t/(12+t^4) dt
u = t^2とおいて置換積分すると
du=2tdt, t^4=u^2
であるから
I=∫ 1/(12+(y^2)^2)・tdt
＝∫ 1/(1+u^2)・(1/2)du
=(1/2)∫ 1/(1+u^2) du
u=tan(x)とおいて置換積分すると
du=dx・sec^2(x)=dx(1+tan^2(x))=dx(1+u^2)
1/(1+u^2) du=dx
であるから
I=(1/2)∫ dx=(1/2)x+C (C=任意定数)
元の変数に戻すと
x=tan^-1(u)=tan^-1(t^2)なので
I=(1/2)tan^-1(t^2)+C (C=任意定数) ←　(答)

（注）tan^-1(t^2) は t^2のアークタンジェント(tanの逆関数）です。

お礼

詳しい説明を、どうもありがとうございました！

回答No.3

spring135

I=∫t/(12 + t^4)dt=(1/2)∫d(t^2)/(12 + t^4)=(1/2)∫du/(12 + u^2)

v=√12uとおく

I=(√3/12)∫dv/(1+v^2)

v=tanxとおく

1/(1+v^2)=cos^2x

dv/dx=1/cos^2x

I=(√3/12)∫dx=(√3/12)x+c=(√3/12)arctanv+c=(√3/12)arctan(√12u)+c

=(√3/12)arctan((2√3)t^2)+c

∫dx/(1+x^2)=arctanx+c

はよく出てくる公式です。この形に持ち込むのがコツです。

お礼

公式のことも教えていただき、助かりました。
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

もう 1回置換.

お礼

ご回答、どうもありがとうございました！