定積分の問題について

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
問題は以下を証明せよです。
∫W(u)du=π^2/2
ただしW(u)＝log( coth(|u|ln(10)/2 )、積分範囲-∞<u<∞
（※ここでlogは10を低とする常用対数、lnはeを低とする自然対数）

ここでW(u)は|u|があることから、またグラフの形状から偶関数であることがわかったので、
与式を次のようにしました。
∫[-∞<u<∞]W(u)du=2×∫[0≦u<∞]log( coth(uln(10)/2 )du
この次に変数uは２つの関数の中に入っているので、t=coth(|u|ln(10)/2と置いて、置換積分を試みようとしました。
ところが、置換積分て積分範囲が∞の時も成立するのか分からず四苦八苦しております。
どなたか、ご存知の方いらっしゃいましたら、ご教示いただきたくお願いいたします。

回答No.1

naozou

厳密には変数変換後(置換積分)の積分が発散しないことを確かめればいいはずです。
もしくは、無限積分は有限区間に限った積分の極限と考えられますから、有限区間での置換積分の極限が存在するかどうかになります。
置換積分によっては、無限積分(極限)が存在しない場合も考えられますので、そこに注意する必要があるとおもいます。

お礼

アドバイスありがとうございます。
おっしゃること理解しました。
しかし実際に、どのようにすればよいかご教示いただければ幸いです。
t=coth(u×ln(10)/2)とおくと
u→∞のとき、u×ln(10)/2→∞なので、u×ln(10)/2=xとおくとcoth x=(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))なので
x→∞のとき、e^x→∞、e^(-x)→1となりますよね、そうするとt→∞
また、u→0のとき、u×ln(10)/2→0なので、u×ln(10)/2=xとおくとcoth x=(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))なので
x→0のとき、e^x→1、e^(-x)→1となりますよね、そうするとe^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))→(1+1)/(1-1)よりt→∞
tの積分区間が∞から∞とおかしなことになってしまいます。
また、du=-sinh(u×ln(10)/2) dt となりuが残ってしまいます。
t=coth(u×ln(10)/2)からuを導き出すと、複雑な関数になり、積分そのものが複雑になってしまいます。
何か良い方法があればご教示いただきたくお願いいたします。