不定積分

質問

∫dx/√(4x-x^2)を求めよという問題を解いてみたのですが、模範解答のsin^(-1)(x-2)/2と合いません。以下に私の解答を記しますので、間違いを指摘していただけると幸いです。

t=√(4x-x^2)とおく。
t=√(4x-x^2)⇒t^2=4x-x^2⇔(x-2)^2=4-t^2
⇔x-2=±√(4-t^2)⇔x=2±√(4-t^2)
両辺をtで微分すると、dx=干tdt/√(4-t^2)
(マイナスプラスの記号が見つからなかったので干で代用させていただきます)
よって、
(与式)= ∫dx/√(4x-x^2)=干∫dt/√(4-t^2)=干∫dt/2√(1-(t/2)^2)
u=t/2とおく。両辺を微分すると、dt=2du
∴(与式)=干∫du/√(1-u^2)=干sin^(-1)u +C=干sin^(-1)√(4x-x^2)/2 +C

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

多分結果は同じなのでしょうが

t=√(4x-x^2)という置換は

は先が見えないので実践的でありません。以下のような先の見える置換を勧めます。

∫dx/√(4x-x^2)＝∫dx/√[4-(x-2)^2]=∫du/√[4-u^2]=∫d(u/2)/√[1-(u/2)^2]=∫dv/√[1-v^2]
=sin^(-1)v+c=sin^(-1)(u/2)+c=sin^(-1)[(x-2)/2]+c

(x-2)=u, u/2=vという置き換えをやってます。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

info222_

I=∫dx/√(4x-x^2)=∫dx/√((2^2-(x-2)^2))
x-2=tとおくとdx=dt
I=∫dt/√((2^2)-t^2))=(1/2)∫dt/√(1-(t/2)^2))
t/2=uとおくと　dt=2du
I=(1/2)∫ 2du/√(1-u^2))
u=sin(v) (-1≦u≦1,-π/2≦v≦π/2),とおくと du=cos(v)dv
=∫ dv=v+C
=sin^-1(u)+C
=sin^-1(t/2)+C
=sin^-1((x-2)/2)+C ... (答)