熱力学の問題で困っています。

質問

熱力学の問題で困っています。
dU＝TdS－pdV ・・・(1)式　であるからＶを一定とし、Ｔで微分すると
(dU/dT)v＝T(dS/dT)v 　・・・　(2)式　となっています。
Ｖを一定とし、Ｔで微分とあるのになぜ、(dU/dT)v＝T(dS/dT)v＋dS ・・・(3)式　とならないのでしょうか？
確かにT=(dU/dS)v なら、T(dS/dT)v＝(dU/dS)v・(dS/dT)v＝(dU/dT)v　となるので
(2)式が正しいのは、後で分かるのですが、(1)式をＴで微分の際にTdSのＴが微分されない理由がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

じゃあ、こう書いたら理解できますかね。
まったく同じことを別の書き方をしただけなんですけど。

f(x,y)の時間による全微分を考えます。
時間が変化すると、xもyも変化するので、

df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt)

(∂f/∂x)も(∂f/∂y)も再度微分されることはありませんね。

一変数にすればもう少し分かりやすいでしょうか。

f=f(x(t))から

df/dt = (df/dx)(dx/dt)

これを

df=(df/dx)dx

と書いてから時間微分にすると、両辺を形式的にdtで割って

df/dt = (df/dx)(dx/dt)

と同じ式になります。

このとき、(df/dx)は一般には時間の関数ですが、
改めて時間で微分することはないですよね。

お礼

ありがとうございました。
やっと理解できました。
温度Ｔで微分するとと言う表現が悪いのではないかと思います。
形式的にdTで割るとと書かれたら迷わなくで済みました。

回答No.1

hitokotonusi

f(x,y)という関数があったとき、(a,b)の周りでテーラー展開すると

f(x,y) = f(a+dx, b+dy) = f(a,b) + (∂f(a,b)/∂x)dx + (∂f(a,b)/∂y)dy + O(dx^2, dy^2)

df = f(a+dx,b+dy)-f(a,b)として、微小変化を考え二次以上を無視すると

df(a,b) = (∂f(a,b)/∂x)dx + (∂f(a,b)/∂y)dy

たとえば、このdx、dyの変化が時間変化によって生じたものだとすると、時間によるfの変化は

df(a,b)/dt = (∂f(a,b)/∂x)(dx/dt) + (∂f(a,b)/∂y)(dy/dt)

となり、(∂f(a,b)/∂x)や(∂f(a,b)/∂y)を時間で微分することはしませんね。
なぜなら、(∂f(a,b)/∂x)、(∂f(a,b)/∂y)は微分したあとで展開した位置のx、yの値(a,b)を代入して定数になっているからです。

質問の場合は

f→U
x→S
y→V

で、

T=∂U/∂S
-p=∂U/∂V

です。

補足

回答ありがとうございます。

一方、回答の方は、dUをdSとdVでテーラー展開して、dU＝(dU/dS)vdS＋(dU/dV)sdV から
(1)式と比較して　T＝(dU/dS)v　、－p＝(dU/dV)s　としていますが、
質問の意味は、
dU＝TdS－pdV ・・・(1)式　をＶを一定とし、Ｔで微分すると
(dU/dT)v＝T(dS/dT)v＋dS ・・・(3)式　とならないのかと言うことです。
UやSが温度Ｔの関数であるから、dU(T)＝TdS(T)－pdV となっていると思いますが、
ここでＶ一定で、Ｔで微分したとき、(dU(T)/dT)v＝T(dS(T)/dT)v＋dS ・・・(3)式
となぜならないのでしょうか？