畳み込み積分のラプラス変換

質問

畳み込み積分

　　　　　f * g = ∫[0,t] f(τ) g(t-τ)　dτ

のラプラス変換が式

　　　　　L[f * g] = L[f(t)]L[g(t)]

の性質を満たすことを示そう。

L[f * g]　= ∫[0,∞] (f * g) e^(-st) dt
　　　　　= ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ)　dτ} e^(-st) dt　　　　　←ここから
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ　　　←ここまで

　　　　　：　（これ以降は理解できました）

　　　　　= L[f(t)]L[g(t)]

・・・という例が本に載っています。
途中をどうやって計算しているのかが分かりません。

自分で考えてみますと、
　　　　　= ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ)　dτ} e^(-st) dt
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
の間は、内側と外側の積分を交換したみたいですね。
ただ、その際に
　　　　　∫[0,t]が外側に行って∫[0,∞]
　　　　　∫[0,∞] が内側に行って{∫[τ,∞]
に変換されています。ここがまず分かりません。

次に
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
の間は
　　　　　u = t-τ
と置いて、
　　　　　t = u+τ
とも置いているようです。
でも、それらを適用しただけだと
　　　　　= ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ
と、∫[τ,∞]の開始点はτのままになってしまいますよね？
なぜ、0になってしまったのでしょうか？

多変数の微積分のところで二つの積分を重積分にするのをやりましたが、すっかり忘れました。
復習の意味も込めて教えてください。お願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

あ～, うん, 「補足」を読んだ時点で「ひょっとして何か勘違いしてないだろうか」とちょっと思ったのよ....

「補足」に「本当は変換後の変数があるはずなのですが」とあるよね. でも, ここは単純に積分の順序を入れ替えてるだけで, 変数変換は全く関係ないよ. ついでにいうと「お礼」の方の「縦軸はその45度に沿って増えていく感じ」ってのもよくわからん.

どっちがどっちでもいいんだけど, 例えば t を横軸, τ を縦軸としてみようか. すると, 上の逐次積分は「t を固定して τ で積分」→「t で積分」だから「t が一定のライン」でまず (τ に対して) 積分するんだよね. これで積分領域が図示できるはず. 一方下は「τ を固定して t で積分」→「τ で積分」だから, 今度は「τ が一定のライン」で (t に関して) 積分してる. 同じ積分領域だと, t はどの範囲を動きますか?

お礼

ヤコビ行列式が1になるだけで変数変換はあるんじゃないですか？　u = t-τとして、vの方はv = τなので変数τは別にそのままでも使えた、という意味でした。
図示するとやっぱり積分領域は45度の二等辺直角三角形になりますよね？
正直、今回の回答は分かる人が分かる人に教える説明で、私にはよく分かりませんでした。結局、自分で重積分のところと線形代数の点の移動まで遡って復習しました（調べ上げた今なら分かりますが）。ただ、ベストアンサーは差し上げます。
ありがとうございました。

補足

もうちょっとネットで調べてみます。しばらくお待ち下さい。

回答No.3

Tacosan

すみません, 見直したらこっちも誤解してる感じがしたのでちょっとだけ補足.

「変換後の変数があるはず」の「変換」がラプラス変換のことだとしたら, それは (この積分においては) 定数扱いなので無視していいです. #2 の「変数変換は全く関係ないよ」は置換積分のことだと思って書いていたので, あなたの意志とはちょっとずれたかもしれない.

ただ, やっぱり #1 への「お礼」にある「縦軸」とか「横軸」の意味が分からないんだな～.

回答No.1

Tacosan

上は積分領域を図示すればわかるはず.

下はむしろなぜ「開始点はτのままになってしまいますよね」と思ったのかがわからん. t が τ から ∞ まで動くんだから, u=t-τ が 0 からはじまるのは当然では?

お礼

すみません、上は積分領域を図示してもやっぱり分かりません・・・。横軸は最初と同じように増えていくとして、縦軸はその45度に沿って増えていく感じですよね？内側と外側を交換したことと何か関係があるのでしょうか？
昔の教科書見たら自分の書き込みがあるんですけど、意味分からず・・・今の自分より賢いようです・・・。

下のは、「t が τ から ∞ まで動く」、つまりtとτは最初は同じ点にあってそれから動くってことですよね？だからt-τは0になるってことですね。これは分かってるんだと思います。
ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。
なるほど、上側は（検索した結果）積分領域が45度の二等辺直角三角形になるのは分かっています。今回は、τの１つだけ使われてますが、本当は変換後の変数があるはずなのですが、結局、τと同じなので使われていないことも分かっています。

下側はその当然の部分をもう一度考えてみます。
あとで返事します。