指数関数の積分

質問

∫[-∞,0] (1/√(2π)) e^{(-u^2)/2} du
=(1/√(2π)) ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du

この部分の解き方を教えて下さい。
∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du

多分、置換積分だと思いますが解けません。
f(t) = e^t
t = g(u) = -(1/2)u^2
f(g(u)) = e^{-(1/2)u^2}

t = -(1/2)u^2
dt/du = -(1/2)(2)u
dt/du = -u
dt = -u du

ただ、この形だと
∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du
に適用できません。
∫[-∞,0] u e^{(-u^2)/2} du
のようにuが掛けられてたら適用できたと思います。

どうかこの積分が終わるところまで解いて下さい。
つまり、
[e^(???)][-∞,0]
の形になるまでお願いします。

回答No.3

musume12 · ベストアンサー

高校生なのかな？

　不定積分
　　∫e^(-x^2) dx
は初等関数では表せない積分です。しかし、
　　∫[-∞,∞]e^(-x^2) dx
とか
　　∫[0,∞]e^(-x^2) dx
ならば工夫次第で積分が可能になります。その工夫は大学の微分積分学の参考書の重積分の項を参照すれば、必ず載っている重要な積分です。したがって大学生なら No.2 の方の回答で十分とは思いますが、高校生でも雰囲気がつかめるような画像を貼り付けときます（笑）。
　dudv が rdrdθに変換されることなどが不思議と思ったら、やはり参考書を読んでください。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

はい、高校生です。
（正確には永遠の17歳です。）

初等関数では表せない積分だったんですね。
そんなの習ったっけ？と思って、教科書を調べてみたら、
∫[-∞, ∞] e^{(-u^2)/2}du
の形で例題が載ってました！
しかも本の隅に私の書き込みが残ってました。
過去に解いたことがあるようです。
確かに、2重積分にして極座標変換で解いてました。
なので、No.3さんの回答を頼りに本の解き方で解こうとしました。

しかし！
教科書では範囲が∫[-∞, ∞]なので、答えが√(2π)になってるんですよね…。
そして、No.3さんの答えで一つだけ疑問に思ってた部分がπ <= θ <= (3/2)πでした。
（正直、書き間違えだと思ってました、すみません。）

なるほど！
二つの積分の範囲が∫[-∞, 0]なので掛け合わせて、第3象限の180° <= θ <= 270°になってしまったんですね。
その角度はというとπ/2、なので極座標変換すると∫[0, π/2]になるんですね。
これで教科書の解き方でも解けるようになりました。
このヒントが無かったら、また質問してるところでした。
更に分かりやすいように丁寧にLaTexで書いて下さって、
本当にありがとうございました！

回答No.2

gamma1854

まず、
I =∫[-∞~0] e^(-u^2/2)du = ∫[0~∞] e^(-u^2/2)du .
であり、I ^2 ={∫[0~∞] e^(-u^2/2)du }*{∫[0~∞] e^(-v^2/2)dv }. ゆえ、
D={(x, y) | x^2+y^2≦R^2, 0≦x, y≦0, R>0} として、
G[R] = ∫∫[D] e^{-(u^2+v^2)/2} dudv ... (*)
を計算し、lim[R→∞] G[R] = pi/2 をえます。
--------------------
(*) はもちろん、極座標への変換により計算します。

お礼

ご回答ありがとうございます。

コンセプトは掴むことができました。
2乗したものを考えてから2重積分を使い、極座標変換して、その結果の平方根を取るわけですね。
肝心の極座標への変換が無かったのが少し残念でした。
しかし、勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

musume12

>多分、置換積分だと思いますが解けません。
　普通の置換積分ではなく極座標変換による重積分を使います。
　　　重積分 極座標変換 無限積分
でググるといいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

多分（いや間違いなく）、それだけのヒントでは解けていなかったと思います。（笑）
上の回答へのお礼でまた書きます。