不定積分

質問

何度計算してもめぼしい値が出ないのですが、間違いを指摘して頂けたら幸いです。
(1)∫1/coshx dx
t = coshxと置くと
与式 = ∫1/t dx
dt/dx = -sinhx
dx = dt/-sinhx
与式 = ∫1/t dt/-sinhx
= (log t) / -sinhx
= (log cosx) / -sinhx

(2)
∫xlog(1 + x) dx
= (x^2) log(1 + x)/2 - 1/2∫(x^2)/(1 + x) dx
- 1/2∫(x^2)/(1 + x) dxに着目する、
x + 1 = u , dx = du
- 1/2∫(u - 1)^2/u du
= - 1/2∫(u - 1) du
= - 1/2(u^2/2 - u)
= - (x^2 - 2x-1)/4 -(x - 1)/2

与式 = 1/2 {(x^2) log(1 + x) - (x^2 - 2x-1)/2 -(x - 1)}

初歩的かもしれませんが、宜しくお願い致します。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
>t = cosh(x)
この置換をしていくと

>dt/dx = -sinh(x)
間違い。正しくは
dt/dx = sinh(x)
以降出鱈目。

dx=dt/sinh(x)=dt/√(1+(cosh(x))^2)=dt/√(1+t^2)
I=∫1/cosh(x)dx=∫dt/{t√(1+t^2)}
と置換結果がなります。
なのでこの置換は感心しません。

I=∫1/cosh(x) dx=∫2/(e^x+e^(-x))dx=2∫(e^x)/(e^(2x)+1)dx
e^x=tと置換するとdx=dt/t
I=2∫1/(t^2+1)dt ←積分公式を覚えていないなら　t=tan(u)と置換する。
=2 arctan(t)+C
=2 arctan(e^x)+C

(2)
>- (1/2)∫(u - 1)^2/u du
>= - (1/2)∫(u - 1) du
ここでダメ。
-(1/2)∫(u - 1)^2/u du
=-(1/2)∫(u-2+(1/u)) du
=-(1/4)u^2+u-(1/2)log|u|+C

I=(x^2)log(1+x)/2-(1/4)(x+1)^2+(x+1)-(1/2)log|(x+1)|+C
あとは式の世知だけ。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
丁寧な解説まで、ありがとうございました。やっと解くことができました。

回答No.3

info22

#2です。

A#2の最後の行が文字化けしました。
>　あとは式の世知だけ。
あとは式の整理だけ。と訂正して下さい。

回答No.1

Ginzang

とりあえず、間違っている所の指摘だけはしておく。
そこに気をつけて、考え直した上で、なお分からなければ再質問して欲しい。

(1)
>与式 = ∫1/t dt/-sinhx
>= (log t) / -sinhx
が間違い。sinhxも、tを用いた形で表わし、積分に含めないといけない。

(2)
>- 1/2∫(u - 1)^2/u du
>= - 1/2∫(u - 1) du
が間違い。(u - 1)^2/u = (u - 1)ではないだろう。
(u - 1)^2を展開してみれば…。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
また計算しなおしてみます。