積分について

質問

∫t・f(t-x)dtというものがあったとします。
このとき、f(t-x)は扱いにくいのでu=t-xとおくと
∫t・f(t-x)dt=∫(u+x)・f(u)duとなります。(積分区間は省略します。)
そして∫(u+x)・f(u)du=∫(t+x)・f(t)dtという変形をよく見ますが、この変形はなぜ可能なのでしょうか？
途中までは理解できますが、最後にuをそのままtに変えています。
u=t-xとおいているのに、なぜ勝手にuをtに変えてよいのでしょうか？
この手法は、積分関数で、両辺をxで微分する際によく使われるものです。

回答No.2

info22

>(積分区間は省略します。)
定積分ですね。

積分変数は、変数変換による積分区間に正しく反映されているなら、
どんな文字に置き換えても構いません。
定積分であれば最終的には積分変数は積分結果に現れない変数なので
間違えなければ（混乱しないように）どんな文字を使っても構いません。

使い慣れた、x,tなどがよく使われます。
ここでは積分する上では定数としてすでに文字xが使われていますので
tを使っただけのことです。

> 最後にuをそのままtに変えています。
>u=t-xとおいているのに、なぜ勝手にuをtに変えてよいのでしょうか？
「u=t-x」この式は積分変数tを積分変数uに置換する式ですから、
定積分の積分区間にも反映させないといけません。
後の「t=u」の置換は特別な意味はなく個人的な好みの問題で、最初の積分変数のtは関係ありません。定積分の積分変数は結果に影響しませんから
何を使っても良いということです。

なお、不定積分では、最初の積分変数tと同じ変数tに再度置換してはいけませんね。
不定積分では、最終的には最初の積分変数に戻しておく必要があるからです。「t=u」とおけば、最初の積分変数に戻せなくなります。

回答No.1

kabaokaba

最初のtと最後のtは違うもの．
uのまま計算するのがみにくくなりそうな場合に
なれた文字にただ置き換えるだけ．