指数三角関数を含む定積分について

質問

皆様よろしくお願いいたします。
下記定積分の導き方が分かりません。

(1/π)・∫[0→∞]　｛exp(-xt)・sin(a√x)/x｝dx=erf(a/√(4t))

ここでerfはガウスの誤差関数erf(y)=(2/√π)・∫[0→y]exp(-z^2)dzです。
途中経過も含めてご教示頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx＝erf(a/√(4t))
(erf(y)=(2/√π)・∫[0→y]exp(-z^2)dz)

t＞0の前提で考える・・!

√x = yと置くと、与式は
∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx
= ∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y^2}(2ydy)
= 2・∫[0→∞]{y・exp(-ty^2)・sin(ay)/y^2}dy
= 2・∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dy・・・(0)
・・・となる。

今、J =∫[0→∞]{exp(-ty^2)・cos(ay)}dy・・・(1)
なる積分を考える。
Jをaに関して微分すると
dJ/da =－∫[0→∞]{exp(-ty^2)・y・sin(ay)}dy
= [(1/2t)・exp(-ty^2)・sin(ay)]|[y=0→∞]－(1/2t)・∫[0→∞]{exp(-ty^2)・cos(ay)}dy
= －(1/2t)・J
∴dJ/J = -(1/2t)da logJ = -a^2/4t
J = C・exp(-a^2/4t)　(C:積分常数)
Cを求めるためa = 0とすると(1)からC =∫[0→∞]{exp(-ty^2)}dy = (1/2)・√(π/t)
従って
J = (1/2)・√(π/t)・exp(-a^2/4t)・・・(2)
よって(1)からJをを0からaまで積分し、(2)を考慮して
∫[0→a]{J}da
=∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dy
=(1/2)・√(π/t)・∫[0→a]{exp(-a^2/4t)}da
=(1/2)・4√(t/π)・erf(a/√(4t))
= 2√(t/π)・erf(a/√(4t))

従って(0)より
(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx
=(2/π)・∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dy
(1/2)・√(π/t)・2√(t/π)・erf(a/√(4t))
= erf(a/√(4t))

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご丁寧な解説で大変助かります。
三角関数の性質を利用して微分方程式を立てて解く方法は目から鱗でした。
芸術的な数学を見た気がしました。
ありがとうございました。