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複素積分を使ってI1を求める方法と誤った方法について
- 複素積分を使ってI1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを求める方法として、∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxを考える。
- 留数定理により、I1=π*exp(-a*b)/bとなる。
- 誤った方法として、-i*sin(a*x)を加えた場合、結果が変わってしまい発散するように見えるが、実際には加える符号によらず同じ結果になる。
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siegmund です. すみません,書き損ないました. 第2段落の5行目 > exp(R a sinθ) は R→0 につれて指数関数的に小さくなり, のところは exp(R a sinθ) は R→∞ につれて指数関数的に小さくなり, と訂正してください.
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- siegmund
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積分路の選び方が間違っています. 前半では複素平面の上半分にある半径Rの半円を積分路につけ加えています. この半円からの寄与 I2 がゼロになることはきちんと示されていますが, 多少荒く言えば次のようなことです. z=R*exp(i*θ) とおいて,被積分関数の因子 exp(i*a*z) は exp(i R a cosθ) exp(-R a sinθ) になるから, R→∞としたときに exp(-R a sinθ) は指数関数的に小さくなり (上半面の円だから sinθ>0), 結局大きな半円からの積分への寄与はゼロになる. ところが,後半のようにしますと,被積分関数の因子が exp(-i*a*z) になり, z=R*exp(i*θ) とすると exp(R a sinθ) が出てきて, 今度は指数関数的に大きくなってしまいます. どうすればよいかというと,付け加える半円を複素平面の下半分になるようにするのです. こうすると sinθ<0 ですから,exp(R a sinθ) は R→0 につれて指数関数的に小さくなり, 結局半円からの積分への寄与は消えます. で,積分路内にある極は z=-ib ですから,ここの留数を考えればよいわけです. あと,前半では【実軸正の向き+円の上半分】という積分路全体は反時計回りでしたが, 後半で修正した【実軸正の向き+円の下半分】という積分路全体は時計回りです. そこの符号にも注意してください.
補足
わかりました。半円部分からの寄与が0になるように自分で積分路を決めるということですね?詳しい解説ありがとうございました!