積分の途中がわかりません

質問

どなたか，以下の途中計算わかる方いたら，教えていただきたいのですが，とあるサイト（http://integrals.wolfram.com/index.jsp）で下記の積分をしたら，解が求まったのですがなぜそうなるか途中経過がわかりません．数学に卓越した方にご教授いただけると幸いです．

解く積分は exp[-b((x^-2)+x^2)]dx

解が exp(-2b)/4*(√(π/b))*(erf(√b(x^2-1)/x)-exp(4b)+exp(4b)*erf(√b(x^2+1)/x)+1）

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

積分した結果が分かっているのでしたら、それを逆に微分していけば、途中経過が分かると思います。
　ただし、この積分結果では、誤差関数に行き着いて、結局、積分しきっていないということになります。（もっともこの被積分関数では初等関数で不定積分を表すことはできないようですが。）

　　∫exp[-b((x^-2)+x^2)]dx
　＝(1/2√b)∫[ exp(2b)exp{-b(x+1/x)^2}*√b(1-1/x^2) + exp(-2b)exp{-b(x-1/x)^2}*√b(1+1/x^2) ]dx　　　←かなり恣意的です。結果が分かっているからできることでしょう。
　＝(1/2√b)exp(2b)∫exp{-b(x+1/x)^2}*√b(1-1/x^2)dx + (1/2√b)exp(-2b)∫exp{-b(x-1/x)^2}*√b(1+1/x^2)dx
　＝(1/2√b)exp(2b)*(√π/2)erf{√b(x+1/x)} + (1/2√b)exp(-2b)*(√π/2)erf{√b(x-1/x)} +C　　（Ｃ：積分定数)
　＝(1/4)√(π/b) [ exp(2b){erf(√b(x+1/x)) -1} +exp(-2b){erf(√b(x-1/x)) +1} ] +C'　　（C'＝C-(1/4)√(π/b){exp(2b)-exp(-2b)}　）
　＝exp(-2b)/4*(√(π/b))*(erf(√b(x^2-1)/x)-exp(4b)+exp(4b)*erf(√b(x^2+1)/x)+1）+C'

　ただし、ここでは、誤差関数erfは積分の前に係数が掛かる次の式が使われています。
　　erf(x)＝2/√π*[t=0→x]∫exp(-t^2)dt
http://documents.wolfram.com/mathematica/functions/Erf/

お礼

ありがとうございました．おかげで，数式を途中式込みで解くことができました．