∫[0→t] exp(-a^2/x)dxの計算

質問

よろしくお願いいたします。

　I=∫[0→t] exp(-a^2/x)dx

(aは正の定数です。）

この定積分の計算ができなくて困っています。
ご存知の方よろしくお願いいたします。
置換積分や部分積分をしてますが、うまくいきません。

a/√x=zと置いて置換すると∫[a/√x→∞] {exp(-z^2)}/z dz

という積分項が出てしまい更に分からなくなってしまいました。

回答No.4

Ae610 · ベストアンサー

I=∫[0→t] exp(-a^2/x)dx

a^2/x = yとでも置く・・! 　　x = 0でy→∞、x = tでy = a^2/t
-(a^2/x^2)dx = dy　　dx = -(a^2/y^2)dy

I = a^2・∫(∞→a^2/t]{e^(-y)・1/y^2}(-dy)
= a^2・∫[a^2/t→∞){e^(-y)・1/y^2}dy
= a^2・{[e^(-y)・(-1/y)]|[y=a^2/t→∞]－∫[a^2/t→∞){e^(-y)・1/y}dy}
= a^2・{(t/a^2)・exp(-a^2/t)＋Ei(-a^2/t)}
= t・exp(-a^2/t)＋a^2・Ei(-a^2/t)

ここで積分指数関数Eiを用い
Ei(-x) = -∫[x→∞){e^(-t)/t}dt
・・としている

計算間違えとかあるかもしれないので検算してみて・・!

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご教示頂き助かりました。
変数変換の仕方でしくじってしまったようですね。
大変勉強になりましたありがとうございました。

回答No.6

Knotopolog

＃２です．また，訂正です．タイプミスしました．
不完全ガンマ関数は，Γ(a,x) = ∫[0,∞] t^(a-1) exp(-t) dt ではなく，
不完全ガンマ関数は，Γ(a,x) = ∫[x,∞] t^(a-1) exp(-t) dt です．
お騒がせして，すみませんでした．

回答No.5

Knotopolog

＃２です．
補足します．ANo.3 で，Γ(0, k/t) を，ガンマ関数であると書き込みましたが，正しくは，Γ(0, k/t) は，不完全ガンマ関数です．

不完全ガンマ関数 Γ(a,x) は，Γ(a,x) = ∫[0,∞] t^(a-1) exp(-t) dt です．

もし，不完全ガンマ関数 Γ(a,x) の数値計算を行う場合は，下のサイトをご利用下さい．
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F01000100.%83K%83%93%83%7D%8A%D6%90%94%2F11020000.%95s%8A%AE%91S%83K%83%93%83%7D%8A%D6%90%94%2Fdefault.xml

以上です．

回答No.3

Knotopolog

＃２です．

定積分 ∫[0→t] exp(-a^2/x)dx の計算は，私の考えでは，以下のようになると思います．

いま，a^2＝k, (k＞0) とおいて，k を実数とします．この条件で，WolframAlpha に計算させると，
∫[0→t] exp(-k/x)dx ＝ t*exp(-k/x) - k*Γ(0, k/t)
を得ます．上記の Γ(0, k/t) は，ガンマ関数です．
また，WolframAlpha は，k に数値を入れないと計算できません．
以下の計算を WolframAlpha にさせたところ，

int [0,t] exp(-1/x)dx　・・・・・　a=1
int [0,t] exp(-4/x)dx　・・・・・　a=2
int [0,t] exp(-9/x)dx　・・・・・　a=3
int [0,t] exp(-16/x)dx　・・・・　 a=4

int [0,t] exp(-2/x)dx　・・・・・　a^2=2
int [0,t] exp(-3/x)dx　・・・・・　a^2=3
int [0,t] exp(-100/x)dx　・・・・　a^2=100
int [0,t] exp(-3.14/x)dx　・・・・ a^2=3.14=157/50
int [0,t] exp(-1.001/x)dx　・・ a^2=1.001=1001/1000

すべて，
int [0,t] exp(-k/x)dx ＝ t*exp(-k/x) - k*Γ(0, k/t)
となります（k＞1，k＝1）．

実際に試算してみて下さい．

回答No.2

Knotopolog

＞ I=∫[0→t] exp(-a^2/x)dx
不定積分 ∫exp(－(a^2)/x) dx は，初等関数だけでは解を表示できません．

WolframAlpha(数式計算ソフト)で計算すると，
I＝∫exp(－(a^2)/x)dx＝(a^2)Ei(－(a^2)/x) ＋ x*exp(－(a^2)/x) ＋ constant.
が得られます．Ei(－(a^2)/x) は，特殊関数です．

WolframAlpha を下に貼り付けておきますので，計算させてみて下さい．
http://www.wolframalpha.com/
(Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine)

int exp(-(a^2)/x) dx 　と入力して計算させると解が表示されます．試してみて下さい．

以上です．

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
不定積分の結果は、Wolfram alphaで計算可能なのですね。
ありがとうございます。
問題は質問させていただいた定積分で、途中経過も含めた導出をしたいのですが。
ご存知でしたらご教示頂きたくお願いいたします。

回答No.1

Tacosan

初等超越関数では書けない気がする....

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご指摘の通りかもしれません。
おそらくガウスの誤差関数erf(x)か余誤差関数erfc(x)が必要かと思います。
色々手を尽くしてますが、計算できません。