指数関数と三角関数の積の積分

質問

∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx, 積分範囲[-∞, ∞]
∫cos(ax)exp{-b(x-c)^2}dx, 積分範囲[-∞, ∞]

これらの定積分はどうやって計算すればいいのでしょうか？
数値計算ではなくて、不定積分を導いて計算する方法を知りたいです。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1,#2です。

#2の補足について
1週間ほど出張でA#2の補足回答が遅れました。
>erf(∞)とerf(-∞)の値をどうやって求めればいいのかがわかりません。どうやって求めるのでしょうか？
wxMaximaでerf(∞)とerf(-∞)をこの順に求めるには
次のように入力すれば求められます。
>>erf(inf);erf(minf);

なお、erf(x)のグラフは以下のように入力すれば描けます。
>>plot2d(erf(x),[x,-5,5]);

>手計算で不定積分を導出する場合は、どうやってやるのでしょう？
sin(ax),cos(ax)にオイラーの関係式
sin(ax)={exp(axi)-exp(-axi)}/(2i)
cos(ax)={exp(axi)+exp(-axi)}/2
（iは虚数単位）を適用すれば
指数だけの積分の形に出来て、変数変換をして
exp(-z^2)
の積分に持ち込めばerf(z)関数になるので
wxMaximaによる不定積分の形が導けるかと思います。
ここで、被積分関数の積分変数が複素数になりますのでerf(x)も
複素変数に拡張したerf(z)になってきます。
たとえば、sin(ax)の方は以下のようになります(erf(z),zは複素数)。
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx=
(√π)*exp(-a^2/(4b))*((sin(ac)+i*cos(ac))*erf((2bx-2bc+ia)/(2√(b)))+
(sin(ac)-i*cos(ac))*erf((2bx-2bc-i*a)/(2√(b)))))/(4√(b))

文字定数a,b,cが含まれているため計算が煩雑になりますので、まず最初にa=b=1,c=0など簡単なケースで計算してみると良いかと思います。

お礼

"補足"の下記の文以降の式の幾つかに誤りがあったので訂正します。

＞ところで、複素関数の積分はなじみが無いので教えていただきたいことがあります。

"補足"で書くべきなのですが、もう"補足"に書き込みが出来ないので、"お礼"で失礼します。

-------------- ここから訂正後 --------------

下記の不定積分のsin(ax)にオイラーの関係式を適用した場合、
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx
次のような式が得られました。
(1/(2i))*[∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx-∫exp{-i*ax-b(x-c)^2}dx]
（ここまでは間違っていないと思いますが、間違いがあれば教えて下さい。）
この式の中の2つの不定積分の仕方について教えていただきたいことがあります。

2つは同じように解けるので、前者の
∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx
を例にします。
これを変形すると、
exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*∫exp[-b{x-c-i*a/(2b)}^2]dx
となりました。そこで、
z=(√(b))*{x-c-i*a/(2b)} … (A)
のように変数変換すると、dz/dx=√(b)なので、dx=dz/(√(b))となり、
exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*1/(√(b))*∫exp(-z^2)dz … (B)
となりました。
この変数変換の仕方は正しいでしょうか？

ここまでが正しいとして次に進みます。

d(erf(z))/dz=(2/(√(π)))*exp(-z^2) … (C)
という関係を使って、(B)式は、
exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*(1/2)*(√(π/b))*erf(z)
となり、これに(A)式を代入すると、
exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*(1/2)*(√(π/b))*erf((√(b))*{x-c-i*a/(2b)})
となりました。
(C)式を使ったこの変形は正しいでしょうか？

ここまでが正しとして、式を整理してゆけば教えていただいた不定積分の式が得られました

補足

ありがとうございます！

wmMaximaを使って定積分の式を出すことが出来ました。
一つ確認ですが、#2の2つ目の式の
∫[-∞→∞]cos(ax)exp(-b(x-c)^2)dx={√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}cos(ac)
は
∫[-∞→∞]cos(ax)exp(-b(x-c)^2)dx=-{√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}cos(ac)
の誤植ですね？

また、オイラーの関係式を使って、手計算で不定積分の式を導出することも出来ました。
これについても誤植だと思うので確認ですが、
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx=
(√π)*exp(-a^2/(4b))*((sin(ac)+i*cos(ac))*erf((2bx-2bc+ia)/(2√(b)))+
(sin(ac)-i*cos(ac))*erf((2bx-2bc-i*a)/(2√(b)))))/(4√(b))
は、分子の最後の部分の”）”が一つ多くて、正しくは、
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx=
(√π)*exp(-a^2/(4b))*((sin(ac)+i*cos(ac))*erf((2bx-2bc+ia)/(2√(b)))+
(sin(ac)-i*cos(ac))*erf((2bx-2bc-i*a)/(2√(b))))/(4√(b))
ですね？

ところで、複素関数の積分はなじみが無いので教えていただきたいことがあります。

下記の不定積分のsin(ax)にオイラーの関係式を適用した場合、
∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx
次のような式が得られました。
(1/(2i))*[∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx+∫exp{-i*ax-b(x-c)^2}dx]
（ここまでは間違っていないと思いますが、間違いがあれば教えて下さい。）
この式の中の2つの不定積分の仕方について教えていただきたいことがあります。

2つは同じように解けるので、前者の
∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx
を例にします。
これを変形すると、
∫exp[-b{x-c-i*a/(2b)}^2]dx
となりました。そこで、
z=(√(b))*{x-c-i*a/(2b)} … (A)
のように変数変換すると、dz/dx=√(b)なので、dx=dz/(√(b))となり、
1/(√(b))*∫exp(-z^2)dz … (B)
となりました。
この変数変換の仕方は正しいでしょうか？

ここまでが正しいとして次に進みます。

d(erf(z))/dz=(2/(√(π)))*exp(-z^2) … (C)
という関係を使って、(B)式は、
(1/2)*(√(π/b))*erf(z)
となり、これに(A)式を代入すると、
(1/2)*(√(π/b))*erf((√(b))*{x-c-i*a/(2b)})
となりました。
(C)式を使ったこの変形は正しいでしょうか？

ここまでが正しとして、式を整理してゆけば教えていただいた不定積分の式が得られました。

回答No.4

info22

#1～#3です。
A#3の補足について
>一つ確認ですが、#2の2つ目の式の
>∫[-∞→∞]cos(ax)exp(-b(x-c)^2)dx={√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}cos(ac)
は
>∫[-∞→∞]cos(ax)exp(-b(x-c)^2)dx=-{√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}cos(ac)
の誤植ですね？
A#2で書いた式は、2つの数式処理ソフト「wxMaximaおよびMaple10」で正しいことを確認済みなので、誤植ではありません。
チェックしなおしてみてください。

>また、オイラーの関係式を使って、手計算で不定積分の式を導出すること
>も出来ました。
>これについても誤植だと思うので確認ですが、
>分子の最後の部分の”）”が一つ多くて、正しくは、
>∫sin(ax)exp{-b(x-c)^2}dx=
>(√π)*exp(-a^2/(4b))*((sin(ac)+i*cos(ac))*erf((2bx-2bc+ia)/(2√(b)))+
>(sin(ac)-i*cos(ac))*erf((2bx-2bc-i*a)/(2√(b))))/(4√(b))
ここに書き写す時の転記ミスでした。おっしゃる通り、閉じる括弧が１つ消し忘れていました。
（A#3で書いた元の計算の方は直接計算していますので影響はないです。）

>(1/(2i))*[∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx-∫exp{-i*ax-b(x-c)^2}dx]
（ここまでは間違っていないと思いますが、間違いがあれば教えて下さい。）
オイラーの公式を適用しただけですので間違っていません。

>∫exp{i*ax-b(x-c)^2}dx
>=exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*∫exp[-b{x-c-i*a/(2b)}^2]dx

>z=(√(b))*{x-c-i*a/(2b)} … (A)
>のように変数変換すると、dz/dx=√(b)なので、dx=dz/(√(b))となり、
>exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*1/(√(b))*∫exp(-z^2)dz … (B)
>となりました。
>この変数変換の仕方は正しいでしょうか？
(複素積分では不定積分は定義されていませんので)厳密ではありませんが
この変換で正しい結果が得られますね。この意味で正しいといえます。
元々、実関数の積分なのでオイラーの公式で見かけ上、積分に虚数が入りますが、実数関数の積分と同じように扱い、最終的な積分が実数の式になりますので、このように計算しても正しい結果が得られるということです。

>=exp(i*ac)*exp(-a^2/(4b))*(1/2)*(√(π/b))*erf((√(b))*{x-c-i*a/(2b)})
>となりました。
>(C)式を使ったこの変形は正しいでしょうか？
正しいですね。

>正しとして、式を整理してゆけば教えていただいた不定積分の式が得られました

それは良かったですね。
形式的には虚数単位が含まれていますが、元々実関数の積分ですので結果の式は実関数になります。（複素関数の不定積分自体は定義されない）
積分の範囲を与えて定積分にすれば、積分結果は実数になります。

お礼

回答をありがとうございます！

＞A#2で書いた式は、2つの数式処理ソフト「wxMaximaおよびMaple10」で正しいことを確認済みなので、誤植ではありません。
＞チェックしなおしてみてください。
チェックしなおしたところ、A#2の式で間違いありませんでした。私のケアレスミスでした。すみません。。

回答No.2

info22

>a, b, cはすべて正の実数です。
この条件なら
>さらに場合分けが必要でしょうか。
これ以上の場合わけは不要でしょう。

ただし、不定積分は超越関数の誤差関数erf(x)を使わないと表せません
（大学レベル）。
しかし、積分範囲[-∞, ∞]の場合は、誤差関数が特定の値をとりますので
積分は以下のようになります(フリー数式処理ソフトwxMaxima使用)。

∫[-∞→∞]sin(ax)exp(-b(x-c)^2)dx={√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}sin(ac)

∫[-∞→∞]cos(ax)exp(-b(x-c)^2)dx={√(π/b)}{exp(-(a^2)/(4b))}cos(ac)

補足

ありがとうございます。

wxMaxima というソフトを初めて知りました。ちょっと使ってみましたが、便利そうですね。勉強になります。
wxMaxima で問題の被積分関数の不定積分を求めて、その関数のx=∞のときの式からx=-∞のときの式を引けば、教えていただいた式になると思うのですが、erf(∞)とerf(-∞)の値をどうやって求めればいいのかがわかりません。どうやって求めるのでしょうか？

ところで、手計算で不定積分を導く場合、
d{erf(x)}/dx = (2/√π)exp(-x^2)
という式を使って、元の積分の式を部分積分してゆけば、wxMaxima で出てくるような不定積分の式が出てきそうな気がしてやってみているのですが、まだ出来ていません。。手計算で不定積分を導出する場合は、どうやってやるのでしょう？

回答No.1

info22

質問の本質は何ですか？
全てのケースを回答者に分類させて計算させるつもりですか？
そうでなければ、制約のない任意定数をやたら使った積分の全ても場合を回答者にさせようとするのは非常識です。

a=b=c=0の場合やa=0,b=-1,c=0の場合などまで細かく場合わけせせるような形式では質問する必要がありますか？

任意定数を制限して積分に場合分けが必要ない質問にするか、a,b,cに舞台的な数値を与えた質問にするようにして下さい。

参考)
∫[-∞→∞] sin(3x)exp(-5x^2)dx=0
∫[-∞→∞] cos(3x)exp(-5x^2)dx={√(π/5)}exp(-9/20)
∫[-∞→∞] sin(3x)exp(-5(x-7)^2)dx={√(π/5)}{exp(-9/20)}sin(21) ∫[-∞→∞] cos(3x)exp(-5(x-7)^2)dx={√(π/5)}{exp(-9/20)}cos(21)
∫[-∞→∞] sin(3x)exp(5x^2)dx=未定義
∫[-∞→∞] cos(3x)exp(5x^2)dx=未定義
∫[-∞→∞] sin(3x)exp(5(x-7)^2)dx=未定義
∫[-∞→∞] cos(3x)exp(5(x-7)^2)dx=未定義

補足

申し訳ありませんでした。

a, b, cはすべて正の実数です。
さらに場合分けが必要でしょうか。