三角関数の積分

質問

∬sin(2x+y)dxdy（範囲は,0≦x≦π/2,x≦y≦2x）の値を求めよ。
自分なりに計算してみたら
=∫「0→π/2」∫「x→2x」「sin(2x+y)dydx
=∫「0→π/2」[-cos(2x+y)]「x→2x」dx
=∫「0→π/2」-cos4x+cos3xdx
=[-1/4sin4x+1/3sin3x]「0→π/2」
=-1/3
になってしまいました。積分でマイナスの値はおかしいと思いますがどこがおかしいのでしょうか？アドバイスお願いします。

回答No.3

info22

＞もともと積分は面積や体積を求める計算だと思います。・・・しかも今回の
＞問題は積分範囲がありその範囲の値を求めるものだと思うのでマイナスはお
＞かしいと思います。
質問者さんは積分に対する、間違った先入観をもって理解されているようです。高校の先生が誤解を受けるような教え方をされたのかもしれません。
積分は、面積や体積を求める為にだけに使われるわけではありません。
数学分野以外の多くの分野でも使われています。
おそらく高校生だと思いますが、大学に進み、もう少し積分や微分をより深く学ばれれば、定積分の値が負になる場合に何度も出会われるでしょう。
物理では、重力加速度の働く場合に高い山から上方に投げた物体の何秒かの位置の高さは積分で出せますが、積分結果が正であれば、投げた位置より高い、負であれば投げた位置より下に落下していいることを表します。
また、また物体を重力に逆らって移動する時の仕事も積分で表されますが、より高い所に物体を移動すれば積分結果が正になって、正の仕事をしたことを意味し、物体の位置のエネルギーが増加します。下に移動すれば積分が負になり、負の仕事をした事になり、物体は負の仕事に相当する位置のエネルギーを失います。
大きなタンクの水の水位も注ぎ込む水と流出する水の量の差をある時間範囲で積分して、積分結果が正であればタンクの水位があがり（タンクの水の体積が増加）、積分結果が負であれば、水位が下がる（タンクの水の体積が減少）ことを意味します。
このように積分は積分範囲を指定しても、積分結果は正にも負にもなります。
被積分関数が正負に変化する場合や積分の上限と下限の取り方によっても積分結果は、正、負のいずれにもなります。

このことは、質問者さんの積分の知識や経験をつまれればお分かりになる事だと思います。
ここで回答される数学の積分を究めた方なら全ての方があなたの積分の計算の負の結果が正しいといわれるでしょう。
他の回答者からも同じ回答が得られると思います。

回答No.2

log_az

面積や体積を求めなさいという問題だったのですか？(それなら範囲を考え直す必要があります)

範囲が指定されていてもマイナスの値になることはおかしいことではありません。

たとえば、とても簡単な例でy=xをxについて-2から1まで積分してみてください。答えはマイナスですよ。
ただし、x=-2とx=1でかこまれる面積ならば積分範囲を分けたりして考えますよね？

お礼

分かりやすい例をありがとうございます。
間違った考え方を持っていました。

回答No.1

info22

計算は合っています。つまり正解です。

＞積分でマイナスの値はおかしいと思いますがどこがおかしいのでしょうか？

おかしくありません。
積分は正にも負にもなります。
面積や体積は正です。
もしXY平面（z=0の平面）とz=sin(2x+y)の曲面で挟まれ、
領域D={(x,y)|0≦x≦π/2,x≦y≦2x}で囲まれた体積を求めよ。」
という問題なら積分は
∬_D |sin(2x+y)|dxdyとなり体積は正になります。

補足

言う通りですが、もともと積分は面積や体積を求める計算だと思います。・・・しかも今回の問題は積分範囲がありその範囲の値を求めるものだと思うのでマイナスはおかしいと思います。