２次不等式の文章題

質問

高校１年生の問題です。
「商品１個￥１００で仕入れて￥１２０で売ると
１日に６００個売れる。商品１個につき１円値上げする
ごとに１日の売上個数は２０個ずつ減る。利益を最大に
するには１個いくらで売ればよいか？」
答えは￥１２５です。立式ができません。
文章問題は苦手ですので回答をよろしくお願いします。

回答No.3

eliteyoshi · ベストアンサー

120円からの値上げ金額x(円)
利益y(円)
売上数z(個)
とすると、売上数zは

z=600-20x　・・・(1)

となります。さらに利益yは

y={(120+x)-100}×z
=(20+x)z　　・・・(2)

となり、(1)を(2)に代入して

y=(20+x)(600-20x)
=-20x^2+200x+12000 ・・・(3)

となります。この式のグラフは上に凸になることが分かると思いますので、利益yが最大の時の値上げ金額xを求めます。(3)を変形して、

y=-20(x^2-10x)+12000
=-20{(x-5)^2-25}+12000
=-20(x-5)^2+12500

となるから、x=5のとき最大値y=12500であることが分かります。よって答えは、

120+5=125円
(最大利益は12500円)
となります。

お礼

どうもありがとうございました。２次関数、不等式の章末にあったので不等式で解かなくてはと思い、つまっていました。（２次関数の章末でもあるのに…）先入観はよくありませんね。今後は気をつけます。

回答No.2

wondercraw

売値を　ｘとすると

利益Bとすると
B=(600-((x-120)×20))×(x-100)
=(3000-20x)×(x-100)
=20(150-x)×(x-100)
=-20(x-150)×(x-100)
=-20(x^2-250x+15000)
=-20((x-125)^2-625)

qed

お礼

どうもありがとうございました。２次関数、不等式の章末にあったので不等式で解かなくてはと思い、つまっていました。（２次関数の章末でもあるのに…）先入観はよくありませんね。今後は気をつけます。

回答No.1

eiji2003

利益＝（一個あたりの利益）×（売れた個数）
なので、今 Y円値上げしたとすると、
一個当たりの利益＝20+Y　・・・(1)

1円値上げする→個数が20個減る
Y円値上げする→個数が（20Ｙ）個減る

よって、売れた個数は（600-20Ｙ）個　・・・(2)

(1)、(2)より
利益＝(1)×(2)

ここまでできればあとはわかると思います。

お礼

どうもありがとうございました。２次関数、不等式の章末にあったので不等式で解かなくてはと思い、つまっていました。（２次関数の章末でもあるのに…）先入観はよくありませんね。今後は気をつけます。