２次不等式

質問

【問題】
２次不等式x^＋2kx－k^＋3k＋2＞0がすべての実数で成り立つように、
定数kの値の範囲を求めよ。

≪解答≫
x^＋2kx－k^＋3k＋2＝0
の判別式が負であれば良いので、
D/4＝k^－(－k^＋3k＋2)＜0　―◎
⇔2k^－3k－2＜0
⇔－1/2＜k＜2　…（答）

こちらの問題の解答で解らない部分があります。
◎の部分の式なのですが、
これは、b/4＝b'^－acという判別式を利用して立てられた式ですよね…??
しかし、どうしてx^＋2kx－k^＋3k＋2＝0の式が
◎の部分のようになるのでしょうか??
そもそも、x^＋2kx－k^＋3k＋2のどこがa・b・cとなるのでしょうか??

質問が多くてすみません；；
苦手分野なので、詳しく教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

night72 · ベストアンサー

まず、二次方程式の判別式は

D=b^-4ac

です。ここから考えていきましょう。

x^＋2kx－k^＋3k＋2＝0
の判別式をDとすると、D<0であればよいので、

aは1
bは2k
cは-k^+3k+2

なので、

D=(2k)^-4・1・(-k^+3k+2)<0
=4k^-4(-k^+3k+2)<0　
=k^-(-k^+3k+2)<0　…上の式の右辺を４で割る

となり、◎の部分と同じ式になります。
そこで、bの部分が２の倍数の時、全体が４で割れることが明らかなので、
判別式の計算を省いて簡単にしてしまおうというのがD/4の形の判別式です。

二次方程式が　

ax^+2Bx+c=0　

のとき、
（b=2Bと思ってください）

D/4=B^-ac

です。

D=b^-4acの形でもできますが、D/4=B^-acの方が計算過程が少なくてすみます。

お礼

途中式も書いて下さってありがとうございます。
どうしてD/4になるのかもはっきりと知れたので、良かったです＾＾
回答ありがとうございました！

回答No.1

mko900

ｙ＝f(x)＝x^＋2kx－k^＋3k＋2
としてグラフで考えるのです。

ｙ＞0がすべての実数で成り立つ条件を考える。

このグラフは傾き１の二次関数なので下に凸の曲線です。
すべての実数でｙ＞0をみたすためにはｘ軸と交点をもたない
ことが条件になります。したがって判別式Ｄ＜0が条件になるわけです。

x^＋2kx－k^＋3k＋2のどこがa・b・cとなるのでしょうか??
ということですが
f(x)はｘの関数という意味ですからx^＋2kx－k^＋3k＋2はxの２次式になります。そういうわけで2kがxの係数、－k^＋3k＋2が定数項となるわけです。
D=b^－4acにおいて
ｂは2k、aは傾きの1、ｂは定数項の－k^＋3k＋2
となります。

お礼

とても解り易く、参考になりました＾＾
回答ありがとうございます！