ある商品の価格が100円の時には、１日に600個が売れるとする。

質問

ある商品の価格が100円の時には、１日に600個が売れるとする。
価格を１円上げるごとに売れる個数が３個ずつへるという。
この商品の１日の売り上げ総額を最大にするような価格にして売る時の、売り上げ総額として
正しい物はどれか？

1・67000円
2・67500円
3・68000円
4・68500円
5・69000円

答え67500円　この問題の解き方を教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

回答が遅くなりました。
二次関数の場合（グラフを描いてみると一目瞭然ですが）、二次の係数が負の場合、放物線が下から上がって折り返して下へと下がっていく形になります。

したがって、最大値　＝　極値（この場合は極大値）になります。

極値では、平均変化率が０となりますので、これを求めるのに一次微分の結果が０となる（すなわち平均変化率が０となる点）が、極値となります。

極値：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4

二次関数の場合、これでだいたい答えが出るはずですが、すべてがこの条件かどうかは、最大、最小を求める範囲によります。すなわち、範囲内に極値が入るかどうかの判断が必要です。

今回の問題では、範囲はｘ＞０なので、極値が範囲内に入ります。

いずれにしても、グラフを描いてみるのがポイントかと思います。

ご参考に。

お礼

二次関数は、その二次の係数が正ならば、全区間（数直線の全体）でただ一つの極小値を持ち、それは最小値と一致する。
同様に二次の係数が負のときにはただ一つの極大値をもち、それは最大値となる。

参考になりました。

例えばｆ（ｘ）＝2Ｘ＾2　+2ならば
　　　ｆ’（ｘ）＝4ｘ　　　　　　なので極小値　0

　　　ｆ（ｘ）＝2ｘ＾2+　2ｘ　ならば
　　　ｆ’（ｘ）＝2ｘ+2　　　　　なので極小値　2

　　　ｆ（ｘ）＝-3ｘ＾2+50　　ならば
　　　ｆ’（ｘ）＝　-6ｘ　　　　　極大値　0

　　　ｆ（ｘ）＝-6ｘ＾2+12ｘ
　　　ｆ’（ｘ）＝-12ｘ+12　　　　極大値　1

　　　ということで良いのですね？

回答No.2

KEIS050162

先ず、１円の上がり幅を変数ｘとして、売上を表す関数を作ってみます。

Ｆ（ｘ）　＝　（１００＋３ｘ）　×　（６００－ｘ）
　　　　　＝　－３ｘ＾２　＋　３００ｘ　＋　６００００

１円づつ下がった時の条件については明記されていないので、この関数Ｆのｘ＞０の時の最大値を求めます。
Ｆ（ｘ）のグラフを書くと良く分かりますが、負の二次関数なので、極大値が最大になります。

極大値を求めるには、Ｆ（ｘ）を微分して、これが０になる時のｘを求めます。

Ｆ’（ｘ）　＝　－６ｘ　＋　３００　＝　０

これから　ｘ　＝　５０

従って最大値は、
Ｆ（５０）　＝　６７,５００
となります。

ご参考に。

お礼

極大値を求めるには、Ｆ（ｘ）を微分して、これが０になる時のｘを求めます。

Ｆ’（ｘ）　＝　－６ｘ　＋　３００　＝　０

これから　ｘ　＝　５０

従って最大値は、
Ｆ（５０）　＝　６７,５００
となります。

微分という言葉もかなり昔の事でして、

負の二次関数の場合の最大値を求めるには、
どんな時でも、

極大値を求めるには、Ｆ（ｘ）を微分して、これが０になる時のｘを求めます。

Ｆ’（ｘ）　＝　－６ｘ　＋　３００　＝　０

この関係になるのでしょうか？

復習をこめてもう少しこの微分の所説明して頂けないでしょうか？
（もちろん自分でも調べてみますが）
宜しくお願い致します。

回答No.1

nag0720

価格をx円上げたときの売上は、
価格×数量＝(100+x)×(600-3x)
です。

(100+x)×(600-3x)
＝-3x^2+300x+60000
=-3(x-50)^2+67500

なので、価格を50円上げたとき、売り上げは67500円で最大になります。

お礼

＝-3x^2+300x+60000　ここまでは解かったのですが、

ここから因数分解って言うんでしたっけ？（約25年前の事なんでうる覚えでありまして。。。）

上式は、
-3（ｘ・ｘ-100ｘ+2500）+67500
-3ｘｘ　+　300ｘ　-7500　+67500　
だから
-3（ｘ-50）＾2　+67500　

よって-3×0の時が最大　50　その時が67500　

解かりましたが、
ここの因数分解ってのに気がつかないと解けないんですよね？