高校数学の文章題

質問

以下の二つの問題について、回答、解説よろしくお願いします。

1.毎期の始めに1000円ずつ積み立てるとき、第2期末には積立金の元利合計はいくらか。ただし、1期の利率は6分で、1期ごとの複利とし、1円未満は四捨五入。

2.ある商品1個の原価は73円。売値を100円とすると、一日平均165個売れる。
売価をｘ円値上げすると、1日平均売り上げ個数は1/9xの2乗個減る。売り上げ利益を最大にするには一個の売価をいくらにすればいいか。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

#1の者ですが，補足です．
問題２については＃２さんのご回答が正しいですね，（＃１は結果から見ても，問題文の解釈が誤っていたようです．）ありがとうございました．

なお，問題１についてですが，この問題に限れば, (ar+a)r という考え方の方が「わかりやすい」と思う人がむしろ多いかも知れません．

ところが，多くの問題は第ｎ期末とか，第10期末という感じで出てきます．それなので，はじめは　ar, 次は　ar^2+ar という書き方をしました．

もし，＃２と同じ方法をとると，第5期末の例で式を書くと
((((ar+a)r+a)r+a)r+a)r=??
となってしまう人が残念ながら実は多いのです．もちろん，後を適切に処理できる力のある人はよいのですが．
この方針は（最初は）考えやすいけれど，後の発展性にいささか難があります．

一般の場合にも扱いやすくするポイントは，”１年ごとの最初に預けた元本を（利息がついても）別々に並行した別のものとして扱う”ことで
ar
ar^2+ar
ar^3+ar^2+ar
・・・
ar^n+ar^(n-1)+・・・+ar^2+ar
これならば，よく知った等比数列の和であっさり片付くのです．
今後の参考になれば．

回答No.4

kony0

１．について、まったくどうでもよい補足なのです。
もし、nsmiyakoさんが現在高校生であれば、却ってここは読まれないほうがいいのかもしれません。（出題の意図ともはずれてそうなので）

第n期目の元利合計はround(Σ(i=1～n)ar^i,0)とは「微妙に」違うと思います。正解は「毎期ごとに」四捨五入した答えなので、
S(n)=round((S(n-1)+a)*r,0), S(0)=0
の漸化式の解です。（一般項を式でかくのはかえって面倒）

＃round(●,0)とは、EXCEL関数で、●を1位未満四捨五入した値のこと。
ガウス記号を用いて[●+0.5]と書いてもいいかもしれませんね。

つまり、四捨五入のタイミングを「文章どおり」に表現することが必要です。
一見「重箱の隅をつつくようなごたく」に見えるかもしれませんが、a=1000, r=6%とすると、はやくも第4期末から元利合計に1円の誤差が生じます。
一度、「小数点以下も考慮した積み上げ（足し算）をしたのち、最後に1度だけ四捨五入する」のと、「毎期事に四捨五入する」のを手計算で計算してみてください。

nsmiyakoさんの質問の意図とはかけ離れていますが、#1,#2の方の解法をよく理解された上で、ご一読いただければ・・・と思います。

＃おそらく数学の問題集なんかでも、このあたりは案外気を使ってない解答になってくるんでしょうね・・・という観点で、「むしろ高校生ならば読み飛ばしてください」と冒頭に書きました。「読み物」程度と思ってもらえれば（笑）

お礼

貴重なアドバイスありがとうございました。
参考にさせていただきました。

回答No.2

hinebot

基本的にA#1の方の方針でOKですが問１については

積み立て額a,利率r(ただし、r=0.06ではなく1.06の意）としたとき
１期末の元利合計は　ar　で
２期末の元金は　ar+a (１期末の元利＋積み立て額）なので
２期末の元利合計は　福利なので
(ar+a)r =ar(r+1)
と考えた方が理解しやすいと思います。（やってることは同じですけど）
1000×1.06×2.06=2183.6
1円未満四捨五入なので　2184[円]

問２の方ですが、
>売上個数は165-(x/9)^2[個]
これは多分、165-(x^2/9)[個]でしょう。
解き方は
y=f(x) = (27+x){165-(x^2/9)} = -(1/9)x^3-3x^2+165+4455
と置くと
y'= -(1/3)x^2-6x+165 = -(1/3)(x+33)(x-15)
より、x=-33,15 で極値をとる。
x^3の係数が負であることと
f(0)=4455,f(15)=5880,f(30)=3705
なので、x=15 で極大となる。　　（f(30)は、x>15で計算しやすい値を選んだだけです）
x>0 なので、x=15のとき y=f(x)は最大。
よって求める売価は　100+15=115 [円]

お礼

大変丁寧な解説をいただきありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.1

oshiete_goo

1) a=1000(円), r=1.06
として,
第1期の終了時に,
ar
第2期の終了時には, 複利なので
ar+ar^2=ar(1+r)
あとは計算.

2) 売価100+x円の時, 原価73円だから, 1個あたりの利益は27+x円で,　売上個数は165-(x/9)^2[個](これでいい?)
この２数の積が売上利益．これを最大にするx=x0を求めて（３次関数）答えは100+x0(円)

お礼

ありがとうございます。回答を参考にしながら、答えを完成させようと思います。