微分・極値の問題

質問

仕入れ250円の商品を定価400円で売ると、1ヶ月に2400個うれる。しかし、10円引くごとに100個づつ多く売れる。このとき最適販売価格はいくらか。
（１）販売数をｙ、価格をｘとすると、ｙ＝a-bｘという式が成立する。この場合の
aはいくらか。
（２）売上額は、販売数×価格つまり、ｘｙ。これをｒ＝ｘｙとし、利益ＢはＲから費用Ｃをひいたものである。この場合Ｃ＝５００＋２ｙとする。つまり、500円は固定費、2円は変動費である。ｂ＝ｒ－ｃ＝ｘｙ－（５００＋２ｙ）となる。
此れをｘのみの式にし、ｂを微分して極値をもたらすｘの値をもとめよ。
（３）そのとき、販売個数はいくつになるか。また最大の利益はいくらか。
全く歯が立ちません。手ほどきをお願いします。

回答No.1

nakajie · ベストアンサー

(1)y=a-bxだから、400円で2400個売れる場合、
　 2400=a-b(400)...*1
10円引くと100個多く売れるので、390円で2500個となり
2500=a-b(390)...*2
*2-*1を計算すると、 100=10bとなりb=10が求まる。
これを*1に代入すると2400=a-4000となり、a=6400が求まる。
(2)b=xy-(500+2y)に(1)の式を当てはめると、
b=x(6400-10x)-500+2(6400-10x))
=-10x^2+6420x-13300
これを微分すると、
b'=-20x+6420となり、極値は傾き0の点なので
0 =-20x+6420
20x=6420
x=321となる。
(3)販売個数は、
y=6400-10(321)=3190(個)
最大の利益は、
b=-10(321)^2+6420(321)-13300
=-1030410+2060820-13300
=1017110
となると思います。(計算は検算してね)

お礼

ありがとうございます。
最初の出発点がわからず、困っていました。
大変解りやすい説明で助かります。
物事の考え方を教えていただき感謝します。
この企画にも感謝します。
今後もよろしくお願いします。