数III積分

質問

∮x-1/(x^2-2x+4)^3dx はどうなるでしょうか？

部分分数分解の分け方がよくわかりません…(；д；)

回答No.5

ONEONE · ベストアンサー

改めて問題みて思ったのですが、分子がx - 1でいいですよね？

t = x^2-2x+4
とおけば
dt/dx = 2(x - 1)なので

(1/2)∫dt/t^3 = -(1/4)(1/t^2) + C
= -(1/4)(1/(x^2-2x+4)) +C

不同意がついてるのはよくわかりません。

お礼

はい、かっこはついていないです！

ありがとうございました( ｀・∀・)
よく理解できました。これからも数学頑張ります！

回答No.4

info222_

No.3です。

ANo.3の(答)の式に括弧閉じる「）」が抜けていましたので訂正します。

誤： =-1/(8(x^2-2x+4)^4 +C　（Cは任意定数）　　←（答）
正：　=-1/(8(x^2-2x+4)^4 +C)　（Cは任意定数）　　←（答）

補足

ありがとうございます！

置換のやり方のお二人に不同意がついているのはなぜなのでしょう…(；д；)

回答No.3

info222_

これ「∮」はベクトル空間における周回積分や積分路が閉ループの複素積分に対して使われる特殊な積分の記号ですから普通の積分では使っていけません。ここでの普通の積分では「∫」を使ってください。

積分の式は

I=∫(x-1)/(x^2-2x+4)^3dx

ですか？
分子に括弧を使わないと積分の式の意味が変わってしまいます。

Iの式であれば

x-1=tとおけば dx=dt
I=∫t/(t^2+3)^3 dt

さらに　t^2+3=u とおけば　2tdt=du
I=∫(1/2) u^(-3) du
=(1/2）(-1/4) u^(-4) +C
=-(1/8)・1/u^4 +C

変数uをｔにもどして
I=-(1/8)・1/(t^2+3)^4 +C

さらに変数tをxにもどすと
I=-1/(8((x-1)^2+3)^4) +C
=-1/(8(x^2-2x+4)^4 +C　（Cは任意定数）　　←（答）

お礼

なるほど…！！
置換を二回するんですか、わかりました！

積分の記号のことも教えてくださりありがとうございます(●´ー｀●)

回答No.2

ONEONE

分母をt^3とおいてみよう。

お礼

置換積分ですね！ありがとうございます(*´ー｀)

回答No.1

Tacosan

ごあんしんください.

部分分数に分解する必要はありません.

お礼

そうなんですか、ありがとうございます…！

他の解き方も教えてくださると嬉しいです！