剰余の定理の応用問題 解き方を教えてください。

質問

次の問題の回答をお願いします。

数式P(x)をx^2+4で割るとx-3余り、x^2-2x+2で割るとx+7余るという。

このとき、P(x)をx^2+4で割った商をx^2-2x+2で割った余りを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

tsuda16 · ベストアンサー

基本的に剰余の問題は，題意通りに式を立てれば解けます。

題意から
　　P(x) = (x^2 + 4) * Q1(x) + x - 3　　　　　(1)
　　P(x) = (x^2 - 2x + 2) * Q2(x) + x + 7　　(2)
とできる。
P(x) を x^2 + 4 で割った商（= Q1(x)）を x^2 - 2x + 2で割った余りを ax + b とすると，
（2次式で割った余りは1次式以下なので，ax + b にしています。）
（例えば，x^3 + *** で割った余りなら，ax^2 + bx + c になります。）
　　Q1(x) = (x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b
とあらわされるから，(1) に代入して，
　　P(x) = (x^2 + 4) * ((x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b) + x - 3
　　　　 = (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x) + (x^2 + 4) * (ax + b) + x - 3
　　　　 = (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x)
+ (ax + 2a + b) * (x^2 - 2x + 2) + (6a + 2b + 1)x - 4a + 2b - 3
　　　　　　（展開して x^2 -2x + 2 で割り算）
(2) と比較して，
　　 6a + 2b + 1 = 1
　　-4a + 2b - 3 = 7
したがって，a = -1, b = 3 となり，余りは -x + 3 である。

簡単に検算すると，R(x)=0 とすれば，Q1(x) = -x + 3 なので，
(1) に代入して，
　　P(x) = (x^2 + 4) * (-x + 3) + x - 3
　　　　　= -x^3 + 3x^2 -3x + 9 = (-x + 1) * (x^2 -2x + 2) + x + 7
となって，(2) に矛盾していないので，大丈夫でしょう。
計算ミスしてるかもしれないので，ご自身で確認してみてください。

お礼

検算しました、あってました！

ありがとうございました。