数I 剰余定理の問題

質問

(1)　　X＾４－１を　整式P（X)で割ったら、商が　X＾３－３X^２＋９X－２７で、余りが８０であった。　P（X)を求めよ。　

(2)　　整式Q（X)　を　X－１で割っても、X－２で割っても、余りが１であった。　Q（X)を　X＾２－３X＋２で割ったときの余りを求めよ。

Xの後の＾は累乗です。
解き方がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.6

mister_moonlight · ベストアンサー

(1)　x＾3-3x＾2＋9x-27＝（x-3）*（x＾2＋9）であるから、条件より、x＾4-1＝Ｐ（x）＊（x-3）*（x＾2＋9）＋80.
つまり、x＾4-81＝（x-3）*（x＋3）*（x＾2＋9）＝Ｐ（x）＊（x-3）*（x＾2＋9）であるから、Ｐ（x）＝x＋3

(2)　x＾2-3x＋2＝（x-2）*（x-1）であり、Ｑ（x）をx-1で割ったときの商をＡ（x）、x-2で割った時の商をＢ（x）、（x-2）*（x-1）で割った時のＣ（x）とする。求める余りのxの次数は高々1次であるから、ax＋bとする。
条件より、Ｑ（x）＝（x-1）*Ａ（x）＝（x-2）*Ｂ（x）＋1.　‥‥(1)
又、Ｑ（x）＝（x-1）*（x-2）*Ｃ（x）＋（ax＋b）　‥‥(2)
そこで、(1)より　Ｑ（1）＝1、Ｑ（2）＝1で、(2)において、Ｑ（1）＝a＋b、Ｑ（2）＝2a＋bであるから、a＋b＝1、2a＋b＝1。
結局、それらを連立してa、bについて解くだけ。

お礼

回答ありがとうございます。
（１）とてもよく、わかりました。
（２）なぜ、「求める余りのxの次数は高々1次であるから、ax＋bとする。」こうなるのですか。

回答No.10

owata-www

＞この解き方、とても簡単でわかりやすいのですが、求める余りをa(X-1)+bと表さなくても、いいのですね。

余りが１だったということは元の数から１を引けばそれは割り切れる数になります

３でも５でも割ると１になるのは（１以外で）　３×５＝１５の倍数に１を足したものである　
というのと同じことです

お礼

ありがとうございました。

回答No.9

mister_moonlight

＞（２）なぜ、「求める余りのxの次数は高々1次であるから、ax＋bとする。」こうなるのですか

x＾2-3x＋2という、2次式で割ったのだから、余りは当然にも“2次式より小さい”、つまり1次式になるだろう。

お礼

わかりました。余りは数字だけとは限らないから、この問題では式を作るとき、ax＋bにしておかないとだめなんですね。ありがとうございました。

回答No.8

owata-www

もう答えは出ていますが、(2)の簡単なやり方をお教えすると

＞整式Q（X)　を　X－１で割っても、X－２で割っても、余りが１であった。
より
Q(X)－１＝（X-1）(X-2)R（X）＝(X^2-3X+2)R(X)と表せます

よって、
Q(X)＝(X^2-3X+2)R(X)+1
なので余り１です

お礼

この解き方、とても簡単でわかりやすいのですが、求める余りをa(X-1)+bと表さなくても、いいのですね。ありがとうございました。

回答No.7

mister_moonlight

書き込みミス。我ながら、困ったもんだ。ｗ

（誤）条件より、Ｑ（x）＝（x-1）*Ａ（x）＝（x-2）*Ｂ（x）＋1.　‥‥(1)

（正）条件より、Ｑ（x）＝（x-1）*Ａ（x）＋1＝（x-2）*Ｂ（x）＋1.　‥‥(1)

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.5

ekobit

ＮＯ．３です。
私の（１）の解答が間違っていました。
１００％の間違いなので無視してください。

申し訳ありませんでした。

ちなみに（１）の正しい解答は「ｘ＋３」です。

お礼

わかりました。訂正と答え、ありがとうございます。

回答No.4

arrysthmia

次数の考察から P(x)=x-α と置いたら、
No.1 の式へ代入、展開して、
定数項を比較するとよい。
α~4=3~4 だけからは、α=-3 も出てくる。

お礼

アドバイスありがとうございます。やってみます。

回答No.3

ekobit

（１）そうだなぁ・・・回答NO.1と回答NO.2の方法が問題自体が解いてほしいと思ってる方法なんだろうけど・・・。
でもこれ、剰余の定理使うんでしょ？だとしたら式変形から求めるのは学習内容とは違うような気がする・・・。
そこで、剰余の定理を使う方向で以下のように解いてみた。まぁ数字が小さいからできたような解答だけど、よかったら参考にしてみてほしい。
あ、でも、剰余の定理がよくわかってないならNO.1とNO.2の解き方をやるように。そうじゃないと逆にケガをするよ。

【解き方】
Ｐ（ｘ）＝ｘ－αとおくと、問題文と剰余の定理から α^４－１＝８０ という式が導かれる。
これを変形すると、α^４＝８１
８１を素因数分解すると、８１＝３^４であることがわかる。つまり、α^４＝３^４である。
よって、α＝３だから求めるＰ（ｘ）は「ｘ－３」

ちなみになぜＰ（ｘ）＝ｘ－αとおくのかというと、割られる式が４次式で商が３次式、つまり、割る式は１次式になってないとおかしいから。

（２）【解き方】
　　　Ｑ（ｘ）をｘ－１で割った余りは剰余の定理からＱ（１）＝１　・・・【１】
　　　Ｑ（ｘ）をｘ－２で割った余りは剰余の定理からＱ（２）＝１　・・・【２】
　　　Ｑ（ｘ）をｘ^２－３ｘ＋２＝(ｘ－１)(ｘ－２)で割ったときの商をＲ（ｘ）とすると、
　　　Ｑ（ｘ）＝(ｘ－１)(ｘ－２)Ｒ（ｘ）＋(ａｘ＋ｂ) という式が書ける。
　　　どうして余りが１次式なのかはあとで説明するとして・・・この式にｘ＝１とｘ＝２をそれぞれ代入すると、
　　　Ｑ（１）＝ａ＋ｂ　・・・【３】
　　　Ｑ（２）＝２ａ＋ｂ　・・・【４】
　　　よって、【１】＝【３】、【２】＝【４】で連立方程式をつくりそれを解くと、
　　　ａ＝０、ｂ＝１
　　　したがって、Ｑ（ｘ）＝(ｘ－１)(ｘ－２)Ｒ（ｘ）＋１ であるから余りは「１」
　　　ちなみに余りがなぜ１次式になるのかというと、Ｑ（ｘ）を２次式で割ったとき、最初の余りが１次式になるから。
　　　最後まで割ったときの余りは最初の余りが文字式だから当然最後の余りは文字式じゃないとおかしいよね。

以上、これでわからなかったらあとは学校で聞いてください。

お礼

くわしい説明をありがとうございました。

（２）の説明で、「余りがなぜ１次式になるのかというと、Ｑ（ｘ）を２次式で割ったとき、最初の余りが１次式になるから。最後まで割ったときの余りは最初の余りが文字式だから当然最後の余りは文字式じゃないとおかしい。」ここが、理解できないのですが、R（X)は必ず１次式、Qは３次式になるのですか？

回答No.2

info22

ヒント）
問題文を式に直すこと。

(1)問題文の条件を式で表して補足に書いてください。
　その式をP(X)について解けば良い。（答）は P(X)=X+3 と出てくる筈。

(2) X^2-3X+2=(X-1)(X-2)であることを考えて、
　Q(X)を(X-1)(X-2)で割った時の商をR(X)とおいて、
　問題文の条件を全て式で表して補足に書いてください。
　それらの式を解けば（答）は 1 とでてくる筈。

お礼

ヒントをありがとうございました。がんばってみます。

回答No.1

owata-www

＞X＾４－１を　整式P（X)で割ったら、商が　X＾３－３X^２＋９X－２７で、余りが８０であった

→X^4－１＝P(X)*（X^3-3X^2+9X-27）+80
です。あとはご自分で

(2)X^2-3X+2＝(X-1)(X-2)
ですね
求める余りをa(X-1)+bと表します
するとQ(X)＝(X-1)(X-2)R(X)+a(X-1)+b
でQ(X)を(X-1)で割った余りが１だから…

後はご自分でお考え下さい（もう少しシンプルな方法もありますが）

お礼

アドバイスありがとうございます。式を作るところまでは、わかったのですが、その後がわかりませんでした。もう少し考えてみます。