剰余の定理を使った問題について

質問

こんばんは～。
剰余の定理でわからないところがあったので質問します。

(問題)

多項式f(x)をx-2で割ると余りが3,
x+3で割ると余りが-7のとき、
f(x)を(x-2)(x+3)で割った余りを求めよ。

参考書の解説には、
まず(x-2)(x+3)で割った余りは１次式以下だから、
ax+bとおける。
と、書いてあるのですが(x-2)(x+3)、つまり２次式で割った余りは
なぜ１次式以下になるのでしょうか？

回答待ってます。

回答No.2

pontiac_gp · ベストアンサー

先日の問題のときにも軽く触れましたが、
そうしないと1つに決まらないからです。

整数の除法で言うと、
aをbで割った商をp、余りをqとすると、

a = b×p + q (0 ≦ q < p)

と書けます。この 0 ≦ q < p の部分は見た目以上に大切で、
33 = 7×4 + 5
33 = 7×3 + 12
33 = 7×2 + 19
：
余りとして扱うのは5だけですよね。

式の除法の場合は
f(x)をb(x)で割った商をp(x)、余りをq(x)とすると、
f(x) = b(x)p(x) + q(x) (ただしq(x)の次数はp(x)の次数より小さい）

となりますが、もし「ただし・・・」以下の条件がなければ
何通りもの書き方ができて余りが決まらないのです。

たとえば f(x) = x^2 + x + 1 として、
これを x+1 で割った余りを考えます。

f(x) = x(x+1) + 1
f(x) = 2x(x+1) - x^2 - x + 1
f(x) = (x-1)(x+1) + x + 2
f(x) = (x+1)^2 - x

などなど、いくらでも正しい式が作れますが、
余りを -x^2 - x + 1 とか x + 2 とか -x とか言っていいでしょうか？

余りとして適切なのは割る式x+1より次数が小さいもの
つまり定数である 1 だけです。
そうしないと1つに決まらないし、そうすれば1つに決まるのです。

お礼

ただしq(x)の次数はp(x)の次数より小さい

これを使えばいいのですね！
回答ありがとうございます。

夜遅くにわざわざこんなに詳しく丁寧に説明していただいて、
ホントに感謝してます！！

では。

回答No.3

pontiac_gp

ANO2の者ですが、記述ミスがありました。
お詫びにて訂正します。

>整数の除法で言うと、
>aをbで割った商をp、余りをqとすると、
>a = b×p + q (0 ≦ q < p)

は a = b×p + q (0 ≦ q < b) の間違いです。

お礼

大丈夫です。
ホントにありがとうございました。

回答No.1

taktta

２次式　ａｘ＾２+ｂｘ+ｃをたとえば二次式ｄｘ＾２+ｅｘ+ｆでわれば
a/d　が頭に立つことで
ａｘ＾２+ｂｘ+ｃ＝a/d（ｄｘ＾２+ｅｘ+ｆ）+（一次以下の式）
となりますよね。
３次以上の式も同様に普通に割っていけば、割る多項式の次数よりも下げられます。単純に割るだけです。