剰余の定理にて

質問

お世話になります。
次の剰余の定理の問題のとき方のヒントを教えていただけないでしょうか？

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P(x)を(x-1)で割った場合余りは[1]、(x-2)(x-3)で割った場合は余りは[5]。
ではP(x)を(x-1)(x-2)(x-3)で割った場合の余りはいくつか？
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通常(x-1)のような一次式で割る場合はP(1)＝a+b+c=1、
というように行って連立方程式でa,b,c,のそれぞれの値を求めているのですが、
(x-2)(x-3)のような2次式の場合、どのように扱って解を導き出したらいいのかがわかりません。
よろしければその部分をどのように解いたらいいのか、またどうしてそのようになったのか説明を加えていただけないでしょうか。
ご教授お願いいたします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

P(x)=Q(x)(x-1)+1　と書けるので、P(1)=1
P(x)=R(x)(x-2)(x-3)+5　と書けるので、P(2)=5、P(3)=5
P(x)を３次式(x-1)(x-2)(x-3)で割った余りは ax^2+bx+cとおけるので、
P(x)=S(x)(x-1)(x-2)(x-3)+ax^2+bx+c から、P(1),P(2),P(3)の値で
a,b,cの連立を解けばいいと思います。
※Q(x),R(x),S(x)はもちろん商です。

＞(x-2)(x-3)のような2次式の場合
　　　P(2)の値とP(3)の値を使います。この問題では共に５
　　　もし、例えば、P(x)を(x-2)(x-3)で割ったときの余りが3x+5とか
　　　なら、P(x)=Q(x)(x-2)(x-3)+3x+5 と置けるので、P(2)=3×2+5=11、
　　　P(3)=3×3+5=14と計算して使います。

お礼

ご回答有難うございます。
あぁ、なるほど、いわれてみれば(x-2)(x-3)のどちらかが0になるx（この場合2か3）を代入してやれば単純にa+b+c＝余りの状態になって、代入したxの場合の余りが出ますねぇ。
いやぁ、一日中考えていてわからなかったので、スッキリしました。
重ねて有難うございました。

回答No.1

oobdoo

P(x)を(x-2)で割った余りを考えて見ましょう。

P(x)=Q(x)(x-2)(x-3)+5 (ただし、Q(x)は適当な整式)
ですから、余りは5ですよね。右辺前項は(x-2)で割り切れるからです。
同様にして(x-3)で割った余りを考え、3元1次連立方程式(3式からなる)を立てれば答えが求まります。
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もし同様の問題で、この(x-2)(x-3)で割った余りが定数でなかったとしても、その場合は剰余として求まった式に代入すればOKです。

お礼

ご回答有難うございます。
最初どのようにして(x-2)の場合の余りと(x-3)の場合の余りの数を導いたらいいのかさっぱりわかりませんでしたが、
ご回答いただいたおかげでスッキリいたしました。
重ねて有難うございます。