剰余の定理の問題がわかりません

質問

「Xの整式X^75-2X^50+3X^25をX^2-X+1で割った
余りを求めよ。」という問題がわかりません。
式のたてかたはわかるのですが…。

回答No.8

f272 · ベストアンサー

そろそろ時間もたったことだし，ちょっと詳しく書いてみる。

Xの整式X^75-2X^50+3X^25をX^2-X+1で割ったときの商をQとして，余りをaX+bとする。
2次式で割った余りなのだから1次以下の式になることはわかっているよね。
この条件を式にすれば
X^75-2X^50+3X^25=(X^2-X+1)Q+aX+b　　　(A)
です。ここでX^2-X+1=0の相異なる解であるαとβを考えて（αとβが重解で等しいなどということはないこともわかるよね。），まずαを(A)に代入してみる。
α^75-2α^50+3α^25=(α^2-α+1)Q+aα+b
ここでα^2-α+1=0になるので，式は簡単になる。つまり
α^75-2α^50+3α^25=aα+b　　　(B)
です。次にα^75などを何とかするわけですが，α^2-α+1=0からα^2=α-1がわかる，つまり2次式を1次式にすることができることがわかっているので，それを次々に適用すれば75次式も1次式になる。したがって安心して計算してよい。しかし直接α^2=α-1を使うのはうまくない。次数を上げたものも計算しておきます。
α^3=α*α^2=α(α-1)=α^2-α=(α-1)-α=-1
になりました。そして
α^6=α^3*α^3=1
です。これを使えば
α^75=α^69=α^63=...=α^9=α^3=-1
α^50=α^44=α^38=...=α^8=α^2=α-1
α^25=α^19=α^13=...=α^7=α
になります。したがって(B)は
-1-2(α-1)+3α=aα+b
α+1=aα+b　　　(C)
なりました。今までにやったことは同じようにβにも適用できるから
β+1=aβ+b　　　(D)
になります。(C)-(D)を計算すると
(α-β)=a(α-β)
が導かれてαとβ等しくありませんから，α-βで割ってa=1が導かれます。これをたとえば(D)に代入すれば
β+1=β+b
となり，b=1となりました。
結局これで余りはX+1だとわかりましたね。

お礼

回答と解答、詳ししていただいてありがとうございます。
説明はすごくわかりやすかったです。

回答No.10

Tacosan

ついでに #8 の別法:
x^3+1 で割った余りを x^2-x+1 で割って, 余りを求める.

回答No.9

birth11

f272 さんの回答でやっとわかりました。spoqs さんはどうですか?

補足

難しいです
なかなかわかりません

回答No.7

Tacosan

この問題って, #2 にある「x^2-x+1=0 の解を α, β とすると α^3=β^3=-1」がほとんどすべてなんだよな～.

これに気づいてしまえばちょろちょろっと計算するだけで解けてしまう. つまり, そもそも α も β も不要.

回答No.6

alice_44

求めた x を、とりあえず 2 乗、3 乗しながら考えれば、
3 乗した時点で、75 乗も 50 乗も簡単だということが判る。

回答No.5

birth11

X^2-X+1=0を普通に解くと、
X=(1-√3 i)/2 , (1+√3 i)/2
これが分かってどこに代入すればいいんですか?
分かりません。

回答No.4

alice_44

xx-x+1=0 を解いて、その解を
立てた「式」へ代入するだけでしょ。
二次方程式の解公式を使いなよ。
虚数解を知らない…というタワゴトは、却下。
知らなきゃ、勉強すれ。

補足

普通に代入したら75剰なんて計算出来ないんですが。

回答No.3

birth11

どう考えても簡単に解く鍵が見つかりません。
Xの整式は因数分解できる形だけど関係なさそう。
Xの整式をX^2-X+1で実際に割るわけにもいかない。
時間がかかりすぎるし、その分間違える可能性が高くなるし。
問題間違ってないですか?最終的には問題の記入ミスを疑うしかありません。

回答No.2

f272

#1さんの言う通りで、式の立て方がわかるのなら、基本的にはX^2-X+1=0の解であるαとβを代入してごにょごにょするだけだろう。
α^3=β^3=-1なのだから式のも簡単になるし...

補足

因数分解ができない

回答No.1

Tacosan

「式のたてかたはわかる」んだよね? どこがどうわからんの?

補足

X^-X+1=0にできないのです…。