剰余の定理？ 高２です。

質問

x^3-6x^2+ax+b が(x-1)(x-2) で割り切れるように、定数a,bの値を定めよ。
という問題なのですが、自分では
商をQ(x)とおく。
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)
x^3-6x^2+ax+b=(x^2-3x+2)Q(x)
とまで考えたのが限界です。全く違うかもしれませんが；
普段「x-1で割り切れるように」という問題しかしていないせいか、全く検討がつきません。
よかったら教えていただきたいです。

ついでで申し訳ないんですが、暇でしたら回答お願いします。
P(x)をx-■で割ると5余り、x+□で割ると10余る。P(x)を(x-2)(x-3)で割ったときのあまりを求めよ。　という問題で、
P(x)を(x-2)(x-3)で割ったときの商をQ(x)とする。
余りをax+bとおくと
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b　
となぜ書かなければいけないのでしょうか？最終的にこの式は使っていない気がするのですが・・・。

回答No.2

jo-zen · ベストアンサー

f(x)=x^3-6x^2+ax+b とおくと、この式は最高次（３次）の係数が１の３次式であることがみてとれます。この式が (x-1)(x-2) で割り切れるということは、方程式 f(x))=x^3-6x^2+ax+b=0 が、ｘ=1 及び x=2 を解に持つということですから、
　f(1) = 1-6+a+b = 0　すなわち　a+b = 5
f(2) = 8-24+2a+b =0 すなわち　2a+b =16
この２式から、a = 11 , b = -5 であることが計算されます。

お礼

なるほど！
連立で解くんですか！
納得しました。ありがとうございます！

回答No.1

bobo_0827

x^3-6x^2+ax+b=((x-1)(x-2)Q(x)
とした場合、
右辺と左辺にそれぞれx=1とx=2をそれぞれ代入すると
どんな式になりますか?
aとbの連立一次方程式を解けばaとbは求めることができると思います。

お礼

私の考えも連立で解けますね！
さっそく解いてみます。
ありがとうございました！