剰余の定理？ 余りを出す問題です

質問

高校数学IIからの質問です。
『Ｘについての多項式Ｐを２Ｘ~2＋５で割ると７Ｘ－４余り、更に、その商を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ると３Ｘ＋８余る。このとき、Ｐを３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割った余りを求めよ』という問題がありました。

自分では、
Ｐ(X)＝(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ(X)＋(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４
という式をつくり、これとは別に、
Ｐ(X)＝(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ'(X)＋ａＸ＋ｂ
という式をつくって、連立方程式をつくり、８Ｘ＋３２という解を出しました。

しかし、解答解説をみると、“Ｐ(X)＝(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ(X)＋(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ったときの余りは、(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ったときの余りに等しい”というよなことが書いてあり、連立方程式を作らずに解いていました。この“(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ったときの余りに等しい”というのがなぜ等しくなるのか理解できません。
宜しくお願いします。

回答No.3

incd · ベストアンサー

すでに十分な回答が出されているようにも思いますが、付けたしです。

(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ると、

(2x^2 + 5)(3x+8) +(7x-4)
= (3x^2 + 5x + 2)(2x + 2) + (8x + 32)
が得られます。これをP(X) の式に代入すると
P(x) = (2x^2 + 5)(3x^2 + 5x + 2)Q(x)
+ (3x^2 + 5x + 2)(2x + 2)
+ (8x + 32)
となるわけですが、第１，２項は結局(3x^2 + 5x + 2)でくくれて
P(x) = (3x^2 + 5x + 2)S(x) + (8x + 2)
という形にかけてしまいます（S(x)の計算は重要でないので省略）。
この式はまさに「P(x)を(3x^2 + 5x + 2)で割ると(8x+32)が余る」ことです。

そういうわけで結局は商の項にまとめることができるから、余りには影響しない、というのがその解説文の意味です。

お礼

回答ありがとうございます。
＞結局は商の項にまとめることができるから、余りには影響しない、というのがその解説文の意味です。
参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

KayAi

問題の意味と質問の意味をきちんと把握できているか分かりませんが…
>“Ｐ(X)＝(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ(X)＋(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ったときの余りは、(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４を３Ｘ~2＋５Ｘ＋２で割ったときの余りに等しい”
というのは(2x^2+5)(3x^2+5x+2)Q(x)に(3x^2+5x+2)が含まれているため、この部分を計算しても余りは０となり、余りの計算には関係がないということなのではないでしょうか。６÷３が３×２÷３＝３÷３×２＝１×２＝２となるというのに似ているような気がします。

お礼

回答ありがとうございます。
＞この部分を計算しても余りは０となり、余りの計算には関係がない
納得いきました。ありがとうございます。

回答No.1

debut

Ｐ(X)＝(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ(X)
　　　　　＋(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ＋８)＋７Ｘ－４　なので
前半の(２Ｘ~2＋５)(３Ｘ~2＋５Ｘ＋２)Ｑ(X)は３Ｘ~2＋５Ｘ＋２
を因数に含んでいるから割り切れるので考えなくてもいいですよね。

お礼

回答ありがとうございます。
＞因数に含んでいるから割り切れる
納得いきました。ありがとうございます。