剰余の定理の応用

質問

整数Ｐ(ｘ)をｘ－１で割ると１３余り、(ｘ＋１)2乗でわると－ｘ＋２余る。
Ｐ(ｘ)を(ｘ－１)(ｘ＋１)2乗で割ったときの余りを求めよ。

を教えてください<(_ _*)>

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570） · ベストアンサー

Ｐ（Ｘ）＝（Ｘ－１）Ｌ（ｘ）＋１３
Ｐ（Ｘ）＝（Ｘ＋１）＾２Ｈ（ｘ）ーｘ＋２

Ｐ（Ｘ）＝（Ｘ－１）（Ｘ＋１）＾２Ｑ（ｘ）＋Ａｘ＾２＋Ｂｘ＋Ｃ
とすると

Ｐ（１）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１３
Ｐ（－１）＝Ａ－Ｂ＋Ｃ＝３
Ｐ’（－１）＝－２Ａ＋Ｂ＝－１

Ａ＝３，Ｂ＝５，Ｃ＝５
こたえ　　３Ｘ＾２＋５Ｘ＋５

回答No.3

OurSQL

与えられた条件より、
P(x) = (x－1) Q(x) + 13
P(x) = (x + 1)^2 R(x)－x + 2
P(x) = (x－1) (x + 1)^2 S(x) + ax^2 + bx + c
とおく。ここまでは No.2 さんとまったく同じで、他にこれといった解法もないでしょう。

質問者様が微分をある程度知っているなら、そのまま No.2 さんの解法で無事終了。
微分を知らないなら、3番目の
P(x) = (x－1) (x + 1)^2 S(x) + ax^2 + bx + c　を変形して、
= (x－1) (x + 1)^2 S(x) + a(x + 1)^2－2ax－a + bx + c
= (x + 1)^2 { (x－1) S(x) + a } + (－2a + b)x + (－a + c)
2番目と係数を比較して、－2a + b = －１, －a + c = 2
それに P(1) = a + b + c = 13
これでも a, b, c の値は求まります。

回答No.1

tomokoich

求める余りをax+bとすると
P(x)=(x-1)(x+1)^2Q(x)+ax+bとなります
また条件より
x-1で割ると余りが13より
P(1)=a+b=13---(1)
(x+1)^2で割ると余りが-x+2より
P(-1)=-a+b=(-1)+2=1---(2)
b=1+aを(1)に代入
a+1+a=13
2a=12
a=6
b=7
よって余りは6x+7