次の三角関数の不等式の証明を教えて下さい。

質問

π<θ<2πの時、2sinθ(1-cosθ)>=-4

証明を教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa

＞No.2です。
＞f(θ)=2sinθ(1-cosθ)とおくと
f'(θ)=2cosθ(1-cosθ)+2sin^2θ
=2cosθ-2cos^2θ+2(1-cos^2θ)
=-4cos^2θ+2cosθ+2=-2(2cos^2θ-cosθ-1)
=-2(2cosθ+1)(cosθ-1)=-4(cosθ+1/2)(cosθ-1)だから
f(θ)はcosθ＜-1/2で減少、cosθ=-1/2で極小、
-1/2＜cosθ＜1で増加となり、π＜θ＜2πの時に
cosθ=-1/2となるのはθ=4π/3だからπ＜θ＜2π
におけるf(θ)の最小値は
f(4π/3)=2sin(4π/3){1-cos(4π/3)}=2*(-√3/2){1-(-1/2)}
=-3√3/2となる。

回答No.2

yyssaa

π<θ<2πの時、
2sinθ(1-cosθ)>=-4にはならないのでは？

回答No.1

shintaro-2

sinθ-1～+1
(1-cosθ)は0～2

だから与式は必ず-4以上