三角関数の不等式 変形

質問

cos^2θ－2cosθ－sin^2θ＋2sinθ≧０、０°≦θ≦３６０°を満たすθの範囲を求める問題なのですが、

どのように変形すればいいのでしょうか？
－2cosθ、2sinθを２でくくってみても何だか・・・
少しでもアドバイスいただければ幸いです。
回答宜しくお願いいたします

回答No.3

springside · ベストアンサー

>>(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ-2)≧０をとくときですが、
これはどうすればいいのでしょうか？

ちょっと誤解されてるかも知れません。
No.2さんも書かれていますが、こんな感じです。

(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ-2)≧０・・・※
を解く。

今、θの値にかかわらず、-√2≦cosθ+sinθ≦√2であるから、cosθ+sinθ-2は必ず負である。よって、※の両辺をcosθ+sinθ-2（＜0）で割ると、

cosθ-sinθ≦0

となる。よって、

sinθ-cosθ≧0
√2sin(θ-45°)≧0
∴sin(θ-45°)≧0

今、0°≦θ≦360°なので、-45°≦θ-45°≦315°であるから、この範囲でsinが0以上になるのは、

0°≦θ-45°≦180°

よって、

45°≦θ≦225°

お礼

回答ありがとうございます。
指摘通り誤解しておりました。
詳しくわかりやすい回答いただきとても助かりました。

回答No.2

Noy

補足に対する回答：
cosθ-sinθ≦0
は、合成でときます。そのときに角度の範囲を改めて書かなければなりません。

補足

回答ありがとうございます。
cosθ-sinθ≦0
って合成すると
√２sin（θ＋１３５°）≦０となるのでしょうか？？

回答No.1

springside

こういうのはどうでしょうか。

cos^2θ－2cosθ－sin^2θ＋2sinθ
=(cos^2θ－sin^2θ)-2(cosθ-sinθ)
=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)-2(cosθ-sinθ)
=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ-2)

ここで、-√2≦cosθ+sinθ≦√2なので（何故でしょう？　三角関数の合成をするとわかります）、
cosθ+sinθ-2＜0

よって、与式は、下式と同値。
cosθ-sinθ≦0

あとはわかりますよね。

補足

早速回答いただきありがとうございます。
変形の仕方（合成を含めて）はおかげさまでわかりました。

(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ-2)≧０をとくときですが、
これはどうすればいいのでしょうか？
やはり合成を使うのでしょうか？
教えていただけませんか？