三角関数の加法定理について

質問

以下の公式を証明する問題を出されたのですがどの公式を使用して
どう証明したら言いか難しく悩んでいます。下に自分なりの証明を
書いてみたのですが、どうでしょうか？何か付け加える点間違っている部分があれば教えてください。

問）SINαCOSβ=1/2(SIN(α+β)+SIN(α-β))
＜証明＞
加法定理
　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　・・・(1)
　sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　・・・(2)
　cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ　・・・(3)
　cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ　・・・(4)
から

＜積から和＞
(1)＋(2)より
　sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
より、
　sinαcosβ＝{sin(α＋β)＋sin(α－β)}／２
が得られます。
よってSINαCOSβ=1/2(SIN(α+β)+SIN(α-β))が証明された。

これでいかがでしょうか？

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

>> そこでなぜsin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβこういう展開になるのでしょうか？

　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　・・・(1)
　sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　・・・(2)
　(1) + (2) より、
　sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ

とありますが、sin , cos ではなく、例えば文字式であらわすと、

　A = X + Y ・・・(1)
　B = X - Y ・・・(2)
　(1) + (2) より、
　A + B = ( X + Y ) + ( X - Y )
　A + B = X + X
　A + B = 2X

つまり、「(1) と (2) の左辺の加法」と「(1) と (2) の右辺の加法」
は等しくなるということです。

補足

ありがとうございます。
かなり納得することが出来ました。

また、お聞きする場合があると思いますのでよろしくお願いします。

回答No.3

b0843216

あってますよ。

回答No.1

noname#75273

見る限り問題ないと思われます。

参考URLの「積和の公式」を参考したらいかがでしょうか。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/kousiki/sankakukansuu.html

補足

ありがとうございます。
安心しました。
いただいたURLを参照したら正しいと確認できました。

ただ、わからない部分があって参照したURLの公式の証明にあるのですが、(1)＋(2)を行うとありますが、そこでなぜsin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβこういう展開になるのでしょうか？
この部分について詳しく教えてください。