√２のテイラー展開？

質問

定年退職後に大学に行って数学を学んでおります。
テイラーの展開がどうもよく分かりません。
　例えば√２はどのように計算すれば１．４１４２１３５６になるのでしょうか？
　どなたか分かりやすく教えてください。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

f(x)=x^(1/2) で x=1.96=1.4^2 で展開するとかなり収束が早いです。

f'(x)= (1/2)x^(-1/2)
f''(x) = (-1/4)x~(-3/2)
f('''(x) = (3/8)x(-5/2)

x^(-5/2)とかは 1/(x^2√(x)) などとすれば計算できるので (√(x)=1.4)

３次まで計算すると

f'(1.96) = 0.357142857
f''(1.96) = -0.091107871
f'''(1.96) = 0.069725412

f(1.96) + (1/1!)f'(1.96)(2-1.96) + (1/2!)f''(1.96)(2-1.96)^2 + (1/3!)f'''(1.96)(2-1.96)^3
=1.1414213572

もうちょいですね(^^;

お礼

３次まで計算するとかなり近い数字になりますね。
１．４１で計算するとほぼ完全になるのでしょうね。本当に素晴らしい計算だと思います。
頑張って練習します。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>f'(x)= (1/2)x^(-1/2)
>f''(x) = (-1/4)x~(-3/2)
>f('''(x) = (3/8)x(-5/2)

修正

f'(x)= (1/2)x^(-1/2)
f''(x) = (-1/4)x^(-3/2)
f('''(x) = (3/8)x^(-5/2)

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.7

noname#215361

テイラー展開ではありませんが、ANo.1の方が示されたルートの開き方を十分ご理解頂けたのであれば、追加することは何もありませんが、もう少し分かりやすい例で示すこともできます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

transcendental

（１－ｘ）＾（１/２）＝１－（１/２）ｘ－（１/８）ｘ＾２－（１/１６）ｘ＾３－（５/１２８）ｘ＾４－・・・、を利用する方法の中で、ｘ＝１/９８０１とすると、
（９９/７０）・√（１－１/９８０１）＝√２．
により、√２の値を望むところまで正確に計算できます。
ｘ＾３＝１．０６２１５７２８６×１０＾（－１２）ですから、ここまでで小数第１２位までは計算できます。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

f272

f(x)=(1+x)^(1/2)
と考えると，テイラー展開は
f(x)=f(0)+f'(0)/1*x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/6*x^3+f''''(0)/24*x^4+...
=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(3/48)x^3-(15/384)x^4+...

ここで
√2
=(1/10)√(200)
=(1/10)√(196+4)
=(14/10)√(1+4/196)
=(7/5)√(1+1/49)
と変形してやれば
=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-(15/384)*(1/49)^4+...)
となって，4次の項で打ち切っても
=1.41421356224
となります。誤差は-1.33479E-10程度ですね。

ちなみに
1.41428571429...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-...)
1.41421282799...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+...)
1.41421357173...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-...)
1.41421356224...=(7/5)*(1+(1/2)*(1/49)-(1/8)*(1/49)^2+(3/48)*(1/49)^3-(15/384)*(1/49)^4+...)
1.41421356237...=√2
です。

お礼

回答ありがとうございます。
　大学は今夏休みです。夏休み中にしっかり復習して後期に望みたいと思います。

回答No.4

info222_

f(x)=√(1+x) とおけば f(1)=√2
これを利用してf(x)をマクローリン展開(x=0のまわりのテイラー展開)して
f(x)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-(5x^4)/128+(7x^5)/256+...
x=1とおくと
f(1)=√2=1+(1/2)-(1/8)+(1/16)-(5/128)+(7/256)+...
この式を使って近似計算できますが収束が悪く、近似計算式としては向いていません。

収束の速い計算式は、
f(x)=x^2-2とおいて
ニュートン法(参考URL)
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法
ttp://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html
にある漸化式
　x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f"(x[n]) …(1)
あるいは
　x[n+1]=x[n]-{(x[n])^2-2}/(2x[n])
で初期値 x[0]=1 , 計算精誤差εとして
　|(x[i+1]-x[i])/x[i] |<ε
を満たすi=n　まで計算すればいいでしょう。
この計算法は収束が早いのでおすすめです。
　x[0]=1,ε=10^-8として計算すると
　x[1]=1.5
　x[2]=1.4166666667
　x[3]=1.41421568627451
　x[4]=1.41421356237469
　x[5]=1.414213562373095
　x[6]=1.414213562373095
　i=n=5

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法

お礼

回答ありがとうございます。
ニュートン法やマクローリン関数などもあるのですね、数学は奥が深いです。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

例えば、f(x)=√(x+1) をテイラー級数で表し、x=1 とすると、f(1)=√2 が無限級数として表されます。
f(x)=f(0)+f'(0)/1*x+f''(0)/2*x^2+f'''(0)/6*x^3+f''''(0)/24*x^4+...
f(1)=√2=1+1/2-1/8+1/16-5/128+7/256-21/1024+...
となります。

又、f(x)=1/√(x+1) で x=-1/2 としても√2のテイラー展開が得られます。この場合は、
f(-1/2)=√2=1+1/4+3/32+5/128+35/2048+63/8192+...
と表されます。

何れも、収束がそれ程速くありませんので、小数点以下5桁まで正しく計算するだけでも、かなり大変です。私は思いつきませんが、もっと収束の速い関数が他にあるかも知れません。

お礼

回答ありがとうございます。
　大学の教授はテイラー展開は収束は早くはないが簡単な論理で無理数が見つけられると話しておりました。しかも誤差まで論的に出すことが出来ると。しかし難しくて分かりません。

回答No.2

hashioogi

手持ちの数学公式集に
(1+x)^(1/2)
のテイラー展開の結果として
1+(1/2)x-(1/2・4)x^2+(1・3/2・4・6)x^3-(1・3・5/2・4・6・8)x^4+(1・3・5・7/2・4・6・8・10)x^5-…
但し(-1<x≦1)
というのがあります。
これにx=1を代入すればよいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

＞ルートの開き方で検索すれば、手計算の方法のサイトがいくつもあります。
例えば
http://www.kinomise.com/sokuryo/sokgaku/heihou.html
等々

お礼

回答ありがとうございます。