テイラー展開について

質問

{1+(2bx+x^2/a^2+b^2)}^(-3/2)
このような式をx=0のまわりでテイラー展開した場合
どのような計算過程になるのでしょうか？
f(x)=上式、x=2bx+x^2/a^2+b^2
と置いて展開すればいいのでしょうか・・・
テイラー展開というものをよく分かっていません。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.2

info22

A#1では
f(x)=[1+{2bx+(x^2/(a^2+b^2))}]^(-3/2)
として計算しています。
括弧をつけないと
f(x)=[1+{2bx+(x^2/a^2)+b^2}]^(-3/2)
となります。通常の四則演算ではこの解釈になります。
式が正しく伝わっていなければ計算が無駄になります。
煩わしても分数や指数を同じ行に書かざるをえないこのサイトでは、括弧を沢山つかって式が正しく伝わるように書く様にしてください。

微分は指数部が分数になってもマイナスになっても機械的に微分するだけです。この位の微分ができないようでは微分や計算力不足ですよ。あなたができない同じ計算を同じ計算努力をして私も計算していることをお忘れにならないでください。
地道に計算をする努力を惜しまないこと。
[{1+g(x)}^(-p/2)]'=-(p/2)g'(x){1+g(x)}^{-(p/2)-1}…(A)
という微分をするだけです。計算間違いをしないことです。

＞f'(x)=(-3/2)*{(2b+2x)/a^2+b^2}で正しいでしょうか？
間違っています。指数部が(-3/2)と分数になっている以上f'(x)やf"(x)の式から指数部が(-k/2)という形の項が消えることはありません。

f(x)=[1+{(2bx+(x^2))/(a^2+b^2)}]^(-3/2)

f'(x)=(-3/2){(2bx+(x^2))/(a^2+b^2)}'*[1+{(2bx+(x^2))/(a^2+b^2)}]^(-5/2)
=(-3/2){(2b+2x)/(a^2+b^2)}*[1+{2bx+(x^2)/(a^2+b^2)}]^(-5/2)
=-3{(b+x)/(a^2+b^2)}*[1+{(2bx+x^2)/(a^2+b^2)}]^(-5/2)

f"(x)は(A)の微分公式に
{u(x)v(x)}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)…(B)
の公式を当てはめてください。
f"(x)位の計算に根をあげていてはいけません。
私はf""(x)まで計算してf'(0)～f""(0)までの式をA#1で回答をしてあげているのです。

f"(x)={3/(a^2+b^2)^2}{4(x+b)^2-a^2}*[1+{(2bx+(x^2))/(a^2+b^2)}]^(-7/2)

#計算が正しいかは自分で確認してください。

回答No.1

info22

大学生ですか？
そうならお使いの教科書または参考書にテイラー展開の定義と展開できる条件、つまりx=aでの展開ならその点で無限階微分が可能なこと、収束条件がの説明があるはずです。x=0の周りのテイラー展開はマクローリン展開と言って区別しています。通常利用されるのはマクローリン展開の方です。いずれにしても、もう少し教科書を復習または勉強しなおしてください。
そうでないといくら説明しても理解できません。
f(x)のテイラー展開は下の参考URLなどどこにも掲載されています。
質問の場合は
f(x)={1+(2bx+x^2/a^2+b^2)}^(-3/2)
のひたすらxで微分して
f'(x),f"(x),f"'(x),f""(x),…,f^(n)(x),…
を計算し、x=0とおいた
f'(0),f"(0),f"'(0),f""(0),…,f^(n)(0),…
をテイラー展開（正確にはマクローリン展開）の公式に代入するだけです。
実際は最初の数項だけ、あるいは必要な項数だけ計算して後は…で省略して書くのが多いです。
実際的な使い方は、数値計算で電卓などの計算、プログラム中の関数の計算に利用され、必要な有効桁数（計算精度）までの項数でマクローリン展開して関数の近似式として使われています。
そういうわけでa,bの未定定数の入った式のテイラー展開は単なる単なる手イラー展開の名目でのf(x)のn階微分を求める演習問題の域を出ません。
本当なら
f'(0),f"(0),f"'(0),…を求めよ。と言った問題（質問）にした方が何をすべきは明確になりますよ。

一応f^(n)(0)を幾つか求めたものを書いておきます。
f'(0)=-3b/(a^2+b^2)
f"(0)=3(4b^2-a^2)/(a^2+b^2)^2
f"'(0)=-15b(4b^2-3a^2)/(a^2+b^2)^3
f""(0)=45(8b^4-12a^2*b^2+a^4)/(a^2+b^2)^4
…
途中のn階微分の計算式は膨大になりますのでここでは書ききれません。
単なる微分ですから根気よく計算してください。最終的なチェックは上記の式で行ってください。

マクローリン展開参考URL
ttp://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm

参考URL：

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_2.html

お礼

なんとか理解することができました。
微分方法を間違っていたようです・・・
とても参考になりました、ありがとうございました。

補足

丁寧なご説明ありがとうございます。
流れとしては分かったのですが、微分計算のところで
f'(x)=(-3/2)*{(2b+2x)/a^2+b^2}で正しいでしょうか？
その後のf"(x)の計算がよく分かりません・・・
指数関数になっているためなんだか混乱してしまって(汗）
よろしければ2回微分までの計算過程をヒントでも構わないので
教えていただけないでしょうか。お願いします。