テイラー展開

質問

数学についての質問です。
解説お願いします。

問:次の関数の与えられた点のまわりでの、３次までのテイラー展開を求めよ。

(1)2/(x+1) (x=0)
(2)sinx +cosx(x=π/3)
(3)e^-x (x=1)

問:f(x)=arctanxについて以下の問いに答えよ。
(1)f(x)の、x=0のまわりの２次までのテイラー展開を求めよ。
(2)lim(x→0)arctanx-x/x^3 を求めよ。

回答No.3

alice_44

あ、何かとんでもないこと書いてた。

前半(2)は、
(sin x)+(cos x) = sin(π/3)cos(x-π/3) + cos(π/3)sin(x-π/3)
　　　　　　　　　　　+ cos(π/3)cos(x-π/3) - sin(π/3)sin(x-π/3)
= {(√3)/2 + 1/2}{1 - (1/2!)(x-π/3)^2 + (1/4!)(x-π/3)^4 + …}
　+ {1/2 - (√3)/2}{(x-π/3) - (1/3!)(x-π/3)^2 + (1/5!)(x-π/3)^5 + …}
= {(√3)/2+1/2} + {1/2-(√3)/2}(x-π/3) + {(√3)/2+1/2}(-1/2)(x-π/3)^2 + {1/2-(√3)/2}(-1/6)(x-π/3)^3 + …
≒ (1+√3)/2 + {(1-√3)/2}(x-π/3) - {(1+√3)/4}(x-π/3)^2 - {(1-√3)/12}(x-π/3)^3.
の誤記。

前半(3)は、
定性のしようがなく間違っている。
ここは、高次導関数を順に求めたほうがいいな。

後半は、A No.2 のままでよいと思う。

回答No.2

alice_44

普通に計算すればいいんだけれど…
高次微分係数を順次計算するよりも、私ならこうする
という線を書いてみる。

前半
(1) 等比級数の和 Σ[k=0→∞]r^k = 1/(1-r) は既知として、
2/(x+1) = 2/(1-(-x)) = 2 Σ[k=0→∞](-x)^k = Σ[k=0→∞] 2(-1)^k x^k.
3次までなら、2/(x+1) ≒ 2 - 2 x + 2x^2 - 2x^3.

(2) 指数関数の展開 e^x = Σ[k=0→∞](x^k)/k! と
　　オイラーの等式 e^(ix) = (cos x) + i(sin x) は既知として、
cos x = (1/2){e^(ix) + e^(-ix)} = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 + …,
sin x = (-i/2){e^(ix) - e^(-ix)} = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 + …
より、
(sin x)+(cos x) = sin(π/3)cos(x-π/3) + cos(π/3)sin(x-π/3)
　　　　　　　　　　　+ cos(π/3)cos(x-π/3) - sin(π/3)sin(x-π/3)
= {(√3)/2 + 1/2}{1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 + …}
　+ {1/2 - (√3)/2}{x - (1/3!)x^2 + (1/5!)x^5 + …}
= {(√3)/2+1/2} + {1/2-(√3)/2}x + {(√3)/2+1/2}(-1/2)x^2 + {1/2-(√3)/2}(-1/6)x^3 + …
≒ (1+√3)/2 + {(1-√3)/2}x - {(1+√3)/4}x^2 - {(1-√3)/12}x^3.

(3) 上記、指数関数の展開より、
e^(-x) = (e^-1)e^(1-x) = (e^-1)Σ[k=0→∞]{(1-x)^k}/k!
= (1/e){1 + (1-x) + (1-x)^2/2 + (1-x)^3/6 + …}
= (1/e){8/3 - (5/2)x + x^2 - (1/6)x^3 + …}
≒ {8/(3e)} - {5/(2e))}x + (1/e)x^2 - {1/(6e)}x^3

後半
(1) x = tan y のとき dx/dy = 1/(cos y)^2 = 1+(tan y)^2 = 1+x^2
より、逆関数の微分法によって、(d/dx)(arctan x) = 1/(1+x^2).
等比級数の和を使って、1/(1+x^2) = 1/{1-(-x^2)} = Σ[k=0→∞](-x^2)^k.
(d/dx)(arctan x) = Σ[k=0→∞](-x^2)^k を積分して、
arctan x = 0 - Σ[k=0→∞]{(-1)^k/(2k+1)}x^(2k+1)
≒ x - (1/3)x^3.

(2) 上の結果を使って、
lim[x→0]{arctan(x) - x}/x^3
= lim[x→0]{x - (1/3)x^3 + (xが4次以上の項) - x}/x^3
= lim[x→0]{-(1/3) + (xが1次以上の項)}
= -1/3.

回答No.1

info22_

>解説お願いします。
解説とっても、微分して展開するxでの微係数を求め、テイラー展開の公式に代入するだけじゃない。
それ以上の解説は教科書のテイラー展開のところを復習されたし。

[前の設問]
(1)
2/(x+1)=2-2x+2x^2-2x^3+...

(2)
sinx +cosx=(√3+1)/2-(√3-1)(x-π/3)/2-(√3+1)(x-π)^2/4
+(√3-1)(x-π/3)^3/12+...

(3)
e^(-x)=(1/e)-(1/e)(x-1)+(1/e)(x-1)^2/2-(1/e)(x-1)^3/6+...

[後の設問]
(1)
f(x)=x-x^3/3+...

(2)
ロピタルの定理を使えば良いでしょう。

lim(x→0) (arctan(x)-x)/x^3
=lim(x→0) (arctan(x)-x)'/(x^3)'
=lim(x→0) {1/(1+x^2) -1}/(3x^2)
=lim(x→0) {1-(1+x^2)}/(3x^2*(1+x^2))
=lim(x→0) (-x^2)/(3x^2*(1+x^2))
=lim(x→0) -1/(3(1+x^2))
=-1/3