テイラー展開に関する問題

質問

tan(tanx)のx=0を中心とするテイラー展開を示せ。ただしxについて5次以上の項をＲ₅と書いてよい。
上記の解き方がわかりません。数学が苦手な私にも理解できるような説明をよろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

これくらい書けばわかるかな？
tanx
=sinx/(1-(1-cosx))
=sinx(1+(1-cosx)+(1-cosx)^2+...)
=(x+(-1/6)x^3+(1/120)x^5-...)(1+((1/2)x^2+(-1/24)x^4+...)+((1/2)x^2+(-1/24)x^4+...)^2+...)
=(x+(-1/6)x^3+(1/120)x^5-...)(1+(1/2)x^2+(1/4-1/24)x^4+...)
=x+(-1/6+1/2)x^3+(1/120-1/12+5/24)x^5+...
=x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...
tan(tanx)=(x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...)+(1/3)(x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...)^3+(2/15)(x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...)^5+...
=(x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+...)+(1/3)(x^3+x^5+...)+(2/15)(x^5+...)+...
=x+(2/3)x^3+(3/5)x^5+...

お礼

とてもわかりやすくてたすかりました。
回答してくださって本当にありがとうございます！