物理学の単振動の問題を教えてください

質問

この物理の単振動の問題を教えてください。
「以下の写真のように、人と、水平方向に単振動をする球体があるとします。
人がこれを押す外力の周期が球体の周期T(単振動ω)と同じとき、球体の運動を考え以下の問いに答えなさい。ただし、ω=1と考えて答えなさい。
(1)単位質量あたりの外力をf(t)として鉛直真下を原点とした変位xに対する運動方程式(微分方程式)を書きなさい。
➁外力f(t)が下の写真のグラフの時、0≦t≦3Tの解を求めなさい。ただし、t=0の時x=-1、dx/dt=0とする。また、t=T/2、T、3T/2T、5T/2、3Tでは、x、dx/dtが連続とする。
➂0≦ｔ≦3Tの解のグラフを書きなさい。」
一部でも構いません。分かる方、教えてください

回答No.2

tetra_o · ベストアンサー

こんばんは。とりあえず解いてみました。次のURLから解答へジャンプできます。

http://urx.nu/azMT
http://urx.nu/azMY

(3)のグラフに関して少し補足しておきますと、nを整数として、nT<=t<(n+1/2)Tの時はx=1を中心とした単振動を、(n-1/2)T<=t<nTの時はx=0を中心とした単振動をする、といったイメージですかね。ですので結果的にはどんどん振幅が広がっていくと。

計算が間違っていたらすいません。

お礼

ありがとうございました。
とても分かりやすかったです。

回答No.4

tetra_o

#2です。先の解答について、説明不足の部分がありましたのでこちらで解説させていただきます。
(1)で文字kを用いていますが、これは適当な定数です(もとの球体が単振動をしていることから)。もしもとの球体が振り子のように運動していたならば、振り子の長さlと重力加速度gを用いて、k=mg/lとなります(振り子の運動方程式については勉強していらっしゃると思いますので、ここでは詳述しません)。これは#1の方が解答しておられるとおりです。
分かりにくくなってしまい申し訳御座いません。

回答No.3

SKJAXN

＃１です。すいません。不連続点があるミスをしていました。正しくは、

0≦t＜T/2では、x(t)＝－2*cos(t)＋1
T/2≦t＜Tでは、x(t)＝3*cos(t－T/2)
T≦t＜3/2*Tでは、x(t)＝－4*cos(t－T)＋1
3/2*T≦t＜2*Tでは、x(t)＝5*cos(t－3/2*T)
2*T≦t＜5/2*Tでは、x(t)＝－6*cos(t－2*T)＋1
5/2*T≦t＜3*Tでは、x(t)＝7*cos(t－5/2*T)

です。

お礼

助かりました。
細かく計算していただき、ありがとうございます

回答No.1

SKJAXN

(1) 単振子だけを考えた場合、運動方程式は

http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/53/5333tannhuriko.html

に記述されているとおりですが、単位質量当たりの外力f(t)が加わりますので、球体の質量をm、振り子の長さをL、重力加速度をgとすると、

m*(d^2/dt^2)x＝－m*g/L*x＋m*f(t)　・・・〔式1〕

ここで、ω＝1＝√(g/L)よりg/L＝1であることを考慮すると、〔式1〕は

(d^2/dt^2)x＝－x＋f(t) ⇔ (d^2/dt^2)x＋x＝f(t)　・・・〔式2〕

(2) またT＝2*π/ωより、T＝2*πであることを考慮して〔式2〕は、

(d^2/dt^2)x＋x＝1　（n*T≦t＜(n＋1)/2*T のとき）　・・・〔式3〕
(d^2/dt^2)x＋x＝0　（(n＋1)/2*T≦t＜(n＋1)*T のとき）　・・・〔式4〕

（ただしnは、負でない整数）と表せる。t＝0でx＝－1、dx/dt＝0という条件より〔式3〕のn＝0での場合を解くと、
x(t)＝－2*cos(t)＋1

t＝T/2でx＝3、dx/dt＝0かつ連続という条件で〔式4〕のn＝0での場合を解くと、
x(t)＝3*cos(t－T/2)

以上の考察より、
0≦t＜T/2では、x(t)＝－2*cos(t)＋1
T/2≦t＜Tでは、x(t)＝3*cos(t－T/2)
T≦t＜3/2*Tでは、x(t)＝－3*cos(t－T)＋1
3/2*T≦t＜2*Tでは、x(t)＝4*cos(t－3/2*T)
2*T≦t＜5/2*Tでは、x(t)＝－4*cos(t－2*T)＋1
5/2*T≦t＜3*Tでは、x(t)＝5*cos(t－5/2*T)

※　ここまで振られると、単振動とは言えない気がします。

(3) グラフは貴殿で記述下さい。