物理 単振動についての問題

質問

さきほど送った画像が見にくいとご指摘を受けたので、もう一度送らせていただきました。
画像を参考に、以下の問題を教えてください。
1.t＝0では、質点は原点から正の方向に距離Lだけ離れていて、そこで停止している(L〉0) この条件を満たすような運動方程式の解を求めよ
2.x(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸x(t)とする。
3.質点の運動の振動数f、周期Tを求めよ
4.速度v(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸v(t)とする。
5.速さが最も早いのは質点がどこにあるときか。また、その速さを答えよ。
6.初期条件が以下のものであった場合の質点の座標、速度を同様に答えよ。(t＝0では、質点は原点にあり、x軸正方向に速さVoで動いている。Vo〉0)

回答No.1

bran111

1.t＝0では、質点は原点から正の方向に距離Lだけ離れていて、そこで停止している(L〉0) この条件を満たすような運動方程式の解を求めよ

微分方程式は

-kx=md^2x/dt^2　　　　（1）

初期条件は

t=0において

x=L (2)

v=dx/dt=0 (3)

(1)より

d^2x/dt^2+(k/m)x=0 (4)

この一般解は振幅をA,角振動数をω, 初期位相をφとして

x=Acos(ωt+φ）

で与えられる。

v=dx/dt=-Aωsin(ωt+φ）

(3)よりt=0でv=-Aωsin(φ)=0　⇒　φ=0 よって

x=Acos(ωt)

(2)よりt=0でx=A=L よって

x=Lcos(ωt)

dx/dt=-Lωsin(ωt)

d^2x/dt^2=-Lω^2sin(ωt) ((4)を用いて)
=-(k/m)x=-(k/m)Lsin(ωt)

よって

ω^2=k/m

ω=√(k/m)

以上より求める解は

x=Lcos(ωt), ω=√(k/m)

2.x(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸x(t)とする。

振幅L、角振動数ωの余弦波。これがかけなければこの問題を解く資格はない。

3.質点の運動の振動数f、周期Tを求めよ

ω=√(k/m)=2πf

f=(1/2π)√(k/m)

T=1/f=2π√(m/k)

4.速度v(t)のグラフを書け。横軸t-縦軸v(t)とする。

v=dx/dt=-Lωsin(ωt) : 振幅Lω、角振動数ωの正弦波

5.速さが最も早いのは質点がどこにあるときか。また、その速さを答えよ。

dv/dt=-Lω^2cos(ωt)=0

ωt=π/2,3π/2　⇒　t=π/2ω,3π/2ω⇒　x=0　⇒　v=-Lω,Lω

最も早いのはv>0であるのでｘ＝0、v=Lω

6.初期条件が以下のものであった場合の質点の座標、速度を同様に答えよ。(t＝0では、質点は原点にあり、x軸正方向に速さVoで動いている。Vo〉0)

????

お礼

ありがとうございます。