物理 単振動

質問

ばね定数kのばねに質量mの小球をつけ、水平で滑らかな床の上に置き、ばねの他端を固定した。小球は質点とする。次に小球を手でつかみ、ばねを伸ばして手を離したところ、小球は単振動した。ばねの長さに沿った方向をx軸として振動の中心を原点とする。このとき、小球の運動方程式はｍ((d^2x)/(dt^2))=ーkxと書ける。小球の変位はこの運動方程式の解として与えられx=Asinωt+Bcosωtと書ける。ただし、ωは角振動数であり、A,Bは初期条件で決定される定数とする。

(1)運動方程式よりx=Asinωt+Bcosωtを導出せよ。

(2)解を運動方程式に代入するとωをmとkで表すことができる。その式を求めよ。

(3)小球は時刻t=0のとき、原点x=0を速度voで通過した。この時の、AとBを求めよ。

(4)ばね定数ｋおよびばね定数2kのばねを小球の両側に一直線となるようにつけ、それぞれのばねが自然の長さとなった状態で固定した。次に小球を手でつかみ、ばねの長さに沿って移動させて手を離したところ、小球は単振動した。ばねの長さに沿った方向をx軸として、振動の中心を原点とする。このときの運動方程式を求めよ。

特に(3),(4)がわかりません。(1)~(4)どれでも構いませんので回答よろしくお願いします。
もちろん、(1)~(4)を教えてくださると大変助かります。

よろしくお願いします。

回答No.2

Tann3

（１）は本当に答が出せましたか？
　普通は、最初から「x = A * sin(ωt) + B * cos(ωt) として、A、B、ω を求める」としてしまうので、運動方程式からは求めませんよね？

　まあ、「2回微分して、同じ関数形の負号になる」のだから「 x = exp(i*A*x) である」（A=√[k/m] ）といっても、結局同じようなものですが。

　（１）は、どういう答えを期待しているのか、私にはわかりません。

（２）は、実際に「x = A * sin(ωt) + B * cos(ωt) 」を微分方程式に代入すればよいです。

　　dx^2/dt^2 = -A * ω^2 * sin(ωt) - B * ω^2 * cos(ωt)

ですから、

　　m * [ -A * ω^2 * sin(ωt) - B * ω^2 * cos(ωt) ] = -k * [ A * sin(ωt) + B * cos(ωt) ]

より、

　　　m * ω^2 = k

ですね。

（３）は、まず t = 0 のとき原点 x = 0 なので、「x = A * sin(ωt) + B * cos(ωt) 」より、

　　B = 0

ということになります。

　次に、「速度」の初期条件ですから、「x = A * sin(ωt)」を1回微分して速度にして、

　　　v = dx/dt = A * ω * cos(ωt)

これが、t=0 のとき v = v0 なので

　　　v0 = A * ω

よって、

　　　A = v0 / ω

ということになります。

（４）「同じ x 」に対する各々のばねの復元力は、

　　　F1 = -k * x
　　　F2 = -2k * x

ということになります。
　一方のばねの「引っ張り」は、他方のばねの「圧縮」ですが、力の方向は同じです。

　従って、運動方程式は、2つの力を合成して、

　　　ｍ * (d^2x/dt^2) = F1 + F2 = -3k * x

回答No.1

shintaro-2

>特に(3),(4)がわかりません。

(1),(2)ができていれば、（３）は値を代入すれば解けるはずですが？

（４）はF=maから考えてください
結局バネ２つ分の合力がFとなります。