単振動の問題がわかりません。教えてください。

質問

タイトルのままなのですが、単振動に関する問題がわかりません。特に応用問題となるとさっぱりで頭がこんがらがってしまいます。ですので、この問題は、どう解いたらよいのでしょうか。お願いします。一応、下手ではありますが、図も添付しました。

なめらかな水平な面の上に、左端を固定されたばねにつながれた質量ｍのおもりがばねの長さが自然長の状態で静止している。おもりに左向き初速Ｖを与えたところ、おもりは振動し始めた。ばね定数をｋ、始めにおもりが静止していた自然長での位置を原点Ｏ、右向きを正としてX軸をとるとき、以下の問いに答えよ。

(1)おもりについての運動方程式を求めよ。
(2)X(t)＝Asin(ωt+φ)がこの運動式の解であることを示せ。ただし、ω=√ｋ／ｍとする。
(3)この運動の初期条件を示せ。
(4)上の初期条件より、Ａとφを求めよ。
(5)このとき、ばねは最大でどこまで伸びるか。その値を求めよ。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

なめらかな面上なので摩擦力は無視できます。

(1)物体が受ける力Fの方向はばねをもとの長さに戻る方向になるから、
　フックの法則から時刻tにおける変位をx(t)とするとF=-k*x(t)となる
　よって運動方程式は、m*d^2x(t)/dt=-k*x(t)

(2)x(t)=Asin(ωt＋Φ)の両辺をtで微分する
　dx(t)/dt=Aωcos(ωt+Φ)
　さらに両辺をｔで微分する
d^2x(t)/dt=-Aω^2sin(ωt+Φ)
この式にω=√(k/m)を代入
　d^2x(t)/dt=-A(k/m)sin(ωt+Φ)=-(k/m)*x(t)
　これを(1)式の左辺に代入すると、
　（左辺）＝m*d^2x(t)/t=-m*(k/m)*x(t)=-k*x(t)＝（右辺）
　(1)式が成り立ったので、与えられたx(t)は(1)の運動方程式の解である。

(3)初期条件はt=0でx(0)=0,v(0)=V

(4)x(0)=0より
　x(0)=Asin(ω*0+Φ)=0
Asin(Φ)=0・・・i
v(0)=0より
　v(0)=Aωcos(ω*0+Φ)=V
Aωcos(Φ)=V
ωは定数だから、両辺をωで割って
　Acos(Φ)=V/ω・・・ii
　i、iiより
　A^2*sin^2(Φ)+A^2*cos(Φ)=(V/ω)^2
A^2(sin^2(Φ)+cos^2)=(V/ω)^2
A^2=(V/ω)^2
A=±(V/ω)
　iよりsin(Φ)=0　よってΦ=0,-π

(5)x(t)=Asin(ωt+Φ)において
　任意の時刻ｔにおいてω、Φは定数だから
　-1≦sin(ωt+Φ)≦1　が成り立つ。
　両辺にAをかけると
　-A≦Asin(ωt+Φ)≦A
　-A≦x(t)≦A
　よってx(t)の最大振幅はA、すなわち(4)よりV/ω

考え方はあっていると思うのですが、(1)で問題文では使われていない文字を使っていたり、
(4)のΦの値についてΦの範囲が書いていなかったので、解答のようにきめましたが、
もしかすると考察が不十分かもしれません。

なにかあったら補足してください。

お礼

ありがとございました。自分は、問題を読んでも全然理解ができなかったのですが、丁寧に解説してくれたのでわかりやすかったです。今後も質問した際は、お願いします。