単振動の周期の定義

質問

ρSL・dv/dt = -ρg・S・2x

ρ密度 S断面積 ｇ重力加速度としたとき上記の運動方程式が立てられました。

これでdv/dt　= (-2g/l)・x を移項して出たのですが
解答では

dv/dt　= (-2g/l)・x　より

T = 2π√L/2g

といきなり答えが導かれてました。

問題自体は周期を求めるというものだったのですが

周期は　T = 2π/ω

でどうしてω角速度　が√L/2gと　上記の式から一発でわかってしまうのでしょうか。

結構単振動の問題では　今のような

●●＝○○だから

ω= √何々と出てきますが　これはどのようにぱっと見ただけでωにあたる値だと判断できてしまうのでしょうか。

ωがこうしてこうなるという理由をこの問題からちゃんと覚えたいのでご面倒をおかけしますが解説をお願い申し上げます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

d^2x/d^2=-ax

として、解を単振動 bsin(ωt) とすると、
微分方程式に代入すれば

-bω^2sin(ωt)=-absin(ωt) → ω^2=a → ω=√(a) → T = 2π/ω = 2π/√(a)

なので、慣れれば a を見た瞬間に ωが判ります。

尚、正しい解は T = 2π√(l/2g) = 2π/√(2g/l) 、ω=√(2g/l)です。

お礼

いつも早速のお返事誠にありがとうございます。

-bω^2sin(wt)　という結果が単振動の解を二回微分した結果になるので慣れれば

マイナス◎◎x　などのような形になればそこが角速度の二乗になっているというものなのですね。

なかなか慣れるまでに時間がかかりそうですがもう少し頑張ってみます。
いつもありがとうございます。

回答No.2

noname#221368

高校生の方ですか？。

　結局#1さんの仰るように（a＞0）、

　　d^2x/dt^2＋ax＝0　　　(1)

の一般解は、

　　x(t)＝Ｃ・cos(√(a)・t)＋Ｄ・sin(√(a)・t)　　　(2)

だ、という事実が先にある訳です（Ｃ，Ｄは積分定数）。高校では(2)をおぼえろ、もしくはＣ＝0，Ｄ＝1としたsin(√(a)・t)を(1)に代入すれば、(1)が成り立つから、それで良いよね？となっちゃう訳です。

　(1)は定数係数線形微分方程式といわれる微分方程式で、一般解法（解の公式）は、たいてい大学初年級で講義されますが、大学初年級なので、(1)なら高校範囲でもなんとかなります。

　(1)の両辺にdx/dtをかけ、合成関数の微分公式を念頭に、tで積分します。得られた結果をdx/dt＝の形に直して、少々置換すれば、1階の変数分離形なのがわかります。

　それを、逆三角関数の微分公式を念頭にtで積分すれば、(2)が得られます。

お礼

本当に丁寧な解説解答誠にありがとうございます。