単振動の摩擦について

質問

単振動の摩擦について勉強しているのですがわからなくて困っています。

　摩擦のある面にバネでつないだ物体を右方向にＬ伸ばして放したときの振動を考えます。
　伸ばしていないときの物体の位置がx=0です。
　右から左へ動くときの運動方程式が　m*dx^2/dt^2=-kx+μmg
　左から右へ動くときの運動方程式が　m*dx^2/dt^2=-kx-μmg　となります。

　計算して求められた解は
　最初の位置x0から左端x1　　x1=μg/ω^2+(L-μg/ω^2)cosωt　　　※ω=√(k/m)
　左端x1から右端x2　　x2=-μg/ω^2+(L-3μg/ω^2)cosωt
　といった感じになりました。

　これはいいのですが問題は速度と加速度のグラフを書いた際に速度のグラフがなめらかな曲線を描かず、端で加速度がガクッと落ちているグラフになります。
　この原因は端で摩擦の方向が変わること並びに静止摩擦を考えなければならないことが考えられます。

　これを解決できずに困っています。だれか教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.3

yokkun831

なるほど，これのことですね？

速度ゼロを境界として加速度が不連続になるのはモデルからして当然の結果であり，静止摩擦を考えても結果は変わらないと思います。加速度の不連続は力の不連続によるそのままの帰結でしょう？

回答No.2

yokkun831

下図のようになります。

ちなみに，floor(τ/π)　は，τ/πを超えない最大整数です。

回答No.1

yokkun831

>問題は速度と加速度のグラフを書いた際に速度のグラフがなめらかな曲線を描かず、端で加速度がガクッと落ちているグラフになります。

これは，理論値の計算から得られたグラフですか？それとも実験？
理論値からは，まったく矛盾なく予想されたグラフが得られます。

参考として，Algodooによるシミュレーションと数値計算によるグラフを添付しますが，ごらんのとおり位置，速度ともよい一致を示しています。

補足

回答ありがとうございます。少しつけたさせていただきます。
　まず得られた解を無次元し、x1/L=μmg/kL+(1-μmg/kL)cos√(k/m)tとなります。
　次にこれをx1/L=X1、μmg/kL=α、√(k/m)t=τとおいて、
X1=α+(1-α)cosτという式になります。ちなみに速度はV1=-(1-α)sinτです。
　ここで、αの値がいくらの時振動するかを考え、結果は0<α<0.5でした。そこでα=0.1とし、あとはτの値を0<τ<πの値で入れて考えたのですが・・・