高校数学、定積分で分からない問題があります。

質問

添付写真の283(2)です。(1)は解けました。

f(t)=t^2-2t-3とおいて、f(t)のグラフを書いてみたのですが…なんとなくやってみただけで、実際何から手を付ければいいか分かっていません。

方針だけでも教えて頂けるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞f(x)=∫[t=-3→x](t^2-2t-3)dt=(t^3/3-t^2-3t)[-3→x]
=(x^3/3-x^2-3x)-{(-3)^3/3-(-3)^2-3(-3)}
=(x^3/3-x^2-3x)-{-9-9+9}=x^3/3-x^2-3x+9
f(x)はx^3の係数が正だからx-y座標の左下から右上に向かう曲線。
f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)
x=-1でf(x)は極大、x=3で極小。
f"(x)=2x-2=2(x-1)
x=1は変曲点、x＜1でf"(x)＜0だから上に凸、x＞1で下に凸。
従って-3≦x≦3でf(x)が最大になるのはx=-1のときで、その値は
f(-1)=(-1)^3/3-(-1)^2-3*(-1)+9=-1/3-1+3+9=32/3
最小値はf(3)又はf(-3)の小さい方の値。
f(3)=3^3/3-3^2-3*3+9=9-9-9+9=0
f(-3)=(-3)^3/3-(-3)^2-3*(-3)+9=-9-9+9+9=0
以上から-3≦x≦3で0≦f(x)≦32/3・・・答

お礼

理解しました。ありがとうございました！