高校数学、指数対数で分からない問題があります。

質問

添付写真中央、234と235です。教えて下さい。類題を見ても方針から分かりません。

面倒でなければ、回答を紙に書いて貼って頂けると凄く嬉しいです。

一応ヒントも掲載されていますので、必要であれば補足します。

よろしくお願いします！

回答No.5

asuncion · ベストアンサー

235.
(2)
2^x = 3^y = 5^z
の対数をとる。ここでは常用対数とし、底の記述は省略する。
xlog2 = ylog3 = zlog5 = k
x = k/log2, y = k/log3, z = k/log5

2x - 5z = 2k/log2 - 5k/log5
= (2klog5 - 5klog2)/(log2log5)
= k(log25 - log32)/(log2log5)
< 0
∴2x < 5z

3y - 2x = 3k/log3 - 2k/log2
= (3klog2 - 2klog3)/(log3log2)
= k(log8 - log9)/(log3log2)
< 0
∴3y < 2x

∴3y < 2x < 5z

お礼

ありがとうございました。反応が遅くなりまして申し訳ありません。
授業で別解を習いましたので、中の人の備忘録も兼ねて書いておきます。

【別解1】
(2^1/2)^2x=(3^1/3)^3y=(5^1/5)^5zとなればよい。
(1)より、c<a<b すなわち
5^1/5＜2^1/2＜3^1/3
底が大きくなれば指数は小さくならねばならないから、
5z＞2x＞3y

【別解2】
2^x=3^y について、
2^6x=3^6y
(2^3)^2x=(3^2)^3y
2^3＜3^2より、等号が成立するためには指数の大小関係は逆になる。よって
2x＞3y
同様に…

回答No.4

asuncion

おっと失礼。解の公式の適用を間違えました。

234.の後半

a^x - a^(-x) = 2において、a^x = tとおく。
t - 1/t = 2
t^2 - 2t - 1 = 0
t = 1 ± √1 + 1 = 1 ± √2
t > 0より、t = 1 + √2
a^x + a^(-x)
= t + 1/t
= 1 + √2 + 1/(1 + √2)
= 1 + √2 - (1 - √2)
= 2√2

お礼

前の設問の答えを利用して、適当な数字を文字で置くんですね。
覚えておきます

回答No.3

asuncion

235.(2)について
ヒントがあると、解けるかも。

お礼

BAのお礼に書いた【別解1】がヒントでした。
連日の回答、ありがとうございます。またよろしくお願いします。

回答No.2

asuncion

235.
(1)
a = 2^(1/2), b = 3^(1/3), c = 5^(1/5)
a^6 = 2^3 = 8
b^6 = 3^2 = 9
∴a < b
a^10 = 2^5 = 32
c^10 = 5^2 = 25
∴c < a
∴c < a < b

お礼

2つの数が正であれば、同じ指数乗しても大小関係が変わらないことを使うんですね！
ありがとうございます！

回答No.1

asuncion

234.
a^(3x) - a^(-3x) = 14

(a^x - a^(-x))^3を考える。
(a^x - a^(-x))^3
= a^(3x) - 3a^(2x)・a^(-x) + 3a^x・a^(-2x) - a^(-3x)
= a^(3x) - a^(-3x) - 3a^x + 3a^(-x)
= 14 - 3(a^x - a^(-x))
a^x - a^(-x) = tとおくと、
t^3 + 3t - 14 = 0
(t - 2)(t^2 + 2t + 7) = 0
t^2 + 2t + 7 > 0であるから、t = 2
∴a^x - a^(-x) = 2

a^x - a^(-x) = 2において、a^x = tとおく。
t - 1/t = 2
t^2 - 2t - 1 = 0
t = 1 ± √(1 + 4) = 1 ± √5
t > 0より、t = 1 + √5
a^x + a^(-x)
= t + 1/t
= 1 + √5 + 1/(1 + √5)
= 1 + √5 - (1 - √5)/4
= (3 + 5√5)/4

お礼

ありがとうございました！