範囲を求める定積分です

質問

(1) ∫a~x f(t)dt=x(sin-1)のときf(x)とaの値を求める問題です。
a~xはaからxまでの範囲です！

(2) f(x)=∫1~x (x-t)e^t dt についてf'(x)を求める問題です。
1~xは1からxまでの範囲です！

見当もつかない状態なので説明をお願いします(^人^)

回答No.7

info22_ · ベストアンサー

#1,#4,#5,#6です。

A#6の補足の質問の回答

>では、aの値はいくつになるのですか？
あなたも引用したA#4で書いた式
>∫[a,x] f(t)dt=x(sin(x)-1)=F(x)-F(a)
で x=aとおけば
a(sin(a)-1)=F(a)-F(a)=0
これから
a=0またはsin(a)=1
なので
a=0,(π/2)+2nπ(nは任意の定数)
となります。
（通常、aは上のaのうち、f(x)の定義域のxの下限以上や積分結果「x(sin(x)-1)」の変数xの下限以上であれば問題ないですね。）

回答No.6

info22_

#1,#4,#5です。

A#4の補足の質問の回答

>∫[a,x] f(t)dt=x(sinx-1)=F(x)-F(a) について、
> F(x)-F(a)は公式ですか？それとも置き換えたのでしょうか？
被積分関数、つまりf(t)の原始関数がF(t)です。被積分関数のfの大文字Fを原始関数F(x)の記号として通常使うことが多いです。
つまり、f(t)の不定積分した（ただし積分定数はなし）関数に積分の範囲を入れて
[F(t)] [t=a→x]=F(x)-F(a)
となっているだけです。
＃不定積分、定積分を習っているなら分かりそうなものでしょう。

> xで積の微分は、積分して微分という意味でしょうか？
x(sinx-1)=F(x)-F(a)
この↑両辺を微分するということでしょう。

補足

Fについては理解できました！
では、aの値はいくつになるのですｊか？
お願いします＾＾

回答No.5

info22_

#1です。

A#2の(2)にミスがありましたので訂正します。
(2)
>f(x)=∫[1,x] (x-t)e^t dt=x∫[1,x] e^t dt-∫[1,x] te^t dt

（以下3行で[1,x]を代入すべきところを[0,x]とミスったため）

>=x{(e^x)-e} -[te^t] [0,x]+∫[1,x] e^t dt (←部分積分)
>=x(e^x)-xe -x(e^x)+e^x-e
>=(e^x)-xe -e

正：=x{(e^x)-e} -[te^t] [1,x]+∫[1,x] e^t dt (←部分積分)
=x(e^x)-xe -x(e^x)+e+e^x-e
=(e^x)-xe

回答No.4

info22_

#1です。

A#1の補足の修正後の(1)
>(1)∫[a,x] f(t)=x(sinx-1)
∫[a,x] f(t)dt=x(sinx-1)=F(x)-F(a)
xで積の微分。F(x)を微分するとf(x),F(a)は定数なので微分するとゼロになるから

f(x)=sin(x)-1+x*cos(x)

補足

∫[a,x] f(t)dt=x(sinx-1)=F(x)-F(a) について、
F(x)-F(a)は公式ですか？それとも置き換えたのでしょうか？
xで積の微分は、積分して微分という意味でしょうか？
聞いている側で文句は言えませんが無知なもので・・・すいませんが説明をお願いします！

回答No.3

noname#108210

#2です。
aの値は、もとの式でx=aとすると、
0=arcsin(a)
a=sin0=0
です。

回答No.2

noname#108210

(1)
∫[a,x] f(t)dt=arcsinx　と推察しておきます。

両辺をxで微分して，
f(x)=(d/dx)(arcsinx)
ここで，y=arcsinx　とすると，
dy/dx=1/cosy=1/(√(1-x^2))
よって，
f(x)=1/(√(1-x^2))

(2)
f(x)
=∫[1,x]((x-t)e^t)dt
=∫[1,x]((e^t)'(x-t))dt
=[(e^t)(x-t)][1,x]-∫[1,x]((-1)e^t)dt
=-e(x-1)+[e^t][1,x]
=e^x-xe

回答No.1

info22_

(1)
∫a~x f(t)dt=x(sin-1)
右辺の関数のsinは変数がなく、問題が不完全なので修正願います。

(2)
f(x)=∫[1,x] (x-t)e^t dt=x∫[1,x] e^t dt-∫[1,x] te^t dt
=x{(e^x)-e} -[te^t] [0,x]+∫[1,x] e^t dt (←部分積分)
=x(e^x)-xe -x(e^x)+e^x-e
=(e^x)-xe -e

補足

(1)∫[a,x] f(t)=x(sinx-1) です！

改めてお願いします！