定積分で表された関数

質問

問題を解いていてつまずいたところがあったので質問です＞＜

次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
f(x)＝∫[0,1]xf(t)dt+∫[0,1]tf(t)dt+1

この問題で、∫[0,1]f(t)dt=aとおいて、
f(x)＝ax+ta+1
x=tとすると、
f(t)＝at+at+1=2at+1

よって、∫[0,1]f(t)dt＝∫[0,1](2at+1)dt=a+1

ゆえに、∫[0,1]f(t)dt=aから、
a+1=a

となって、0=1となっておかしくなってしまいました；；

一体どこがいけないんでしょうか？

参考書を見ると、∫[0,1]f(t)dt=a、∫[0,1]tf(t)dt= bとおいて解いています。これでやるとちゃんと解けるのですが、

何故、∫[0,1]f(t)dt=aとおくだけではこの問題は解けないのでしょうか？

∫[0,1]tf(t)dt= bとおくのも何故か理解できません・・・。

どなたか教えてください。。お願いします＞＜

回答No.1

pocopeco · ベストアンサー

間違いの指摘＊＊＊＊＊＊
∫[0,1]xf(t)dt=x∫[0,1]f(t)dt　なので、これがaxとなるのは正しい。
ただし、
∫[0,1]tf(t)dt=ta　は間違い。
例えば、f=xのとき、
∫tf(t)dt=∫ttdt
∫tf(t)dt=at

積分に関係ない文字（∫[0,1]xf(t)dtの中のx)は外に出してもいいけど、
tは積分に関係してるので、∫[0,1]tf(t)dt　では
t∫[0,1]f(t)dt とかけ算の形で考えることはできません。
かけてから積分。

解くポイント＊＊＊＊＊＊
定積分は定数になります。
∫[0,1]xf(t)dt=x∫[0,1]f(t)dt　と式変形する。
定積分の部分∫[0,1]f(t)dt=a　とおく。
∫tf(t)dt　は∫[0,1]f(t)dt　と違うから、aではない。
→違う定数bにしよう

お礼

とても分かりやすい解説ありがとうございました！
おかげさまで理解できました。本当にありがとうございました！

回答No.3

abyss-sym

∫[0,1]f(t)dtと∫[0,1]tf(t)dtは全くの別物なんです。
前者はf(t)を積分していますが、後者はtf(t)を積分しています。
決して∫[0,1]tf(t)dt＝t×∫[0,1]f(t)dt という形にはできないんです。
ただし、∫xf(t)dtのような場合であれば、xはtには関係なく積分の対象とはならないので x×∫f(t)dt という形にすることは可能です。

したがって、、∫[0,1]f(t)dt=a、∫[0,1]tf(t)dt= bとおいて解かなければならないんです。

お礼

分かりやすくご解説ありがとうございました！
納得がいきました。本当にありがとうございました！

回答No.2

pocopeco

再度、書き忘れがあったので、追加。

例えば、f=xのとき、
∫tf(t)dt=∫ttdt
∫tf(t)dt=at

この例を使えば、違う物なのだと分かりますよね？