高校数学、導関数で分からない問題があります。

質問

添付写真、249です。教えて下さい。

【ヒント】y=f(x)上の接点を(t,f(t))とおき、この点における接線が曲線外の点を通ると考える。

よろしくお願い致します。

【答】y=25x-21

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

求める直線の式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると、（１，４）を通ることから
４＝ａ＋ｂ
ｂ＝４－ａ
よってこの直線の式は
ｙ＝ａｘ＋４－ａ　・・・（１）

曲線ｙ＝ｆ（ｘ）と直線（１）の接点を（ｔ、ｆ（ｔ））とすると、この接点における
両者の傾きは等しく、それは
ｆ’（ｔ）＝３ｔ＾２＋６ｔ＾＋１
従って直線（１）は
ｙ＝（３ｔ＾２＋６ｔ＋１）ｘ－（３ｔ＾２＋６ｔ－３）　・・・（１）’

（１）’とｆ（ｘ）を等しいとおくと
ｘ＾３＋３ｘ＾２＋ｘ＋７＝（３ｔ＾２＋６ｔ＋１）ｘ－（３ｔ＾２＋６ｔ－３）
ｘ＾３＋３ｘ＾２－（３ｔ＾２＋６ｔ）ｘ＋（３ｔ＾２＋６ｔ＋４）＝０　・・・（２）
直線（１）と曲線ｙ＝ｆ（ｘ）が一点で接し、他の一点で交わるという
ことは、ｘの三次方程式（２）が重解を一つ、およびその他の実数解
を一つ持つということで、両者の接点が（ｔ、ｆ（ｔ））であることから、
その重解はｘ＝ｔに他ならない。よって（２）は実数ｐを用いて
（ｘ－ｐ）（ｘ－ｔ）＾２＝０
と表すことができ、これを展開すると
ｘ＾３－（ｐ＋２ｔ）ｘ＾２＋（２ｔｐ＋ｔ＾２）ｘ－ｐｔ＾２＝０　・・・（２）’
（２）と（２）’の係数を比較すると
ｐ＋２ｔ＝－３　・・・（あ）
２ｔｐ＋ｔ＾２＝－３ｔ＾２－６ｔ　・・・（い）
ｐｔ＾２＝－３ｔ＾２－６ｔ－４　・・・（う）

（い）－（う）より　２ｔｐ＋ｔ＾２－ｐｔ＾２＝４
ｔ（２ｐ＋ｔーｐｔ）＝４
（あ）よりｐ＝－３－２ｔ　なので
ｔ（２（－３－２ｔ）＋ｔ－（－３－２ｔ）ｔ）＝４
ｔ（－６－４ｔ＋ｔ＋３ｔ＋２ｔ＾２）＝４
２ｔ＾３－６ｔ－４＝０　・・・★
２（ｔ－２）（ｔ＋１）＾２＝０
ｔ＝２、－１

別のやり方として、（２）の解の一つはｘ＝ｔなので、
（２）にｘ＝ｔを代入すると★と同じ式が得られる。

ｔ＝－１のときａ＝-2、ｂ＝６となるが
ｆ（ｘ）＝-2ｘ+６　、つまり
ｘ＾３＋３ｘ＾２＋ｘ＋７＝-2ｘ+６　とおくと
ｘ＾３＋３ｘ＾２*3ｘ＋1＝０
(x+1)^3=0
これは（２）が三重解をもつことを意味し、題意に反する。

一方ｔ＝２のときａ＝２５、ｂ＝－２１
ｆ（ｘ）＝２５ｘ－２１　とおくと
ｘ＾３＋３ｘ＾２－２４ｘ＋２８＝０
（ｘ＋７）（ｘ－２）＾２＝０
となり、（２）が重解一つとその他の実数解一つを持つことが判る。
ｇ（ｘ）＝ｘ＾３＋３ｘ＾２－２４ｘ＋２８　とすると
ｇ’（ｘ）＝３ｘ＾２＋６ｘ－２４
　　　　＝３（ｘ＋４）（ｘ－２）
これよりｇ（ｘ）の増減表を作ると、
ｇ’（－７）＞０なので直線（１）と曲線ｙ＝ｆ（ｘ）は（７、－１９６）で交わり、
ｇ’（２）＝０なので両者は（２、２９）で接することが判る

お礼

ありがとうございます。そしてお疲れ様でした…！
私には到底思いつきそうもありませんorz
お陰様で大半は理解出来ましたが、まだあやふやな部分が散見されるので、明日の授業は普段より集中して聞こうと思います。

回答No.3

gohtraw

No.2です。最後の一行に訂正。
（２，２９）がｇ（ｘ）の極小値でない可能性を排除したいので、

ｇ’（２）＝０なので両者の（２、２９）における傾きは等しく、
－４＜ｘ＜２においてｇ’（ｘ）＜０であり、２＜ｘにおいてｇ’（ｘ）＞０なので
（２，２９）は両者の接点であることが判る。

回答No.1

spring135

ヒントに従って自分でやりなさい。

指導を乞うのにヒントとは何事か。

補足

申し訳ありません、貴方のような考え方の人もいることを忘れていました。

そもそもヒントを見て解法が分かるような学力と、ひとつの問題について考え続けられるような時間があれば、ネットの質問サイトになど書き込んでおりません。

回答してくださる方が、万一つまづいた時の為とヒントを掲載しましたが、貴方には不快だったようですね。失礼しました。